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Linear integro-differential equations with a boundary condition. (English) JFM 46.0634.01

Die Integro-Differentialgleichung in reellen Variablen \[ (1)\quad \frac{\partial u(x,s)}{\partial s}=\varphi(x,s)u(x,s)+\int_\alpha^\beta \psi(x,t,s)u(x,t)dt=\lambda(x,s),\;\begin{matrix} a&\leqq x&\leqq b \\ \alpha&\leqq s&\leqq\beta \end{matrix} \] mit der allgemeinen linearen Bandbedingung \[ \begin{split} (2)\quad \alpha(s)u(a,s)+\beta(s)u(b,s)+\int_\alpha^\beta\{A(s,t)u(a,t) \\ +B(s,t)u(b,t)\}dt=\gamma(s),\;\alpha\leqq s\leqq\beta \end{split} \] wird in genauer Analogie zu den bekannten Entwicklungen über Systeme von \(n\) linearen Differentialgleichungen mit \(n\) unbekannten Funktionen (\(u_1(x),\dots,u_n(x)\) statt \(u(x,s)\)) behandelt; wesentliches Hilfsmittel ist die Auflösung von (1) bei gegeben gedachtem \(u(x_0,s)\) durch einen Integralausdruck, die (2) in eine lineare Integralgleichung 2. Art umzuformen gestattet. Den Hauptinhalt der Arbeit bildet die Übertragung der fundamentalen Begriffe der Theorie der Differentialgleichungssysteme (adjungierte Differentialausdrücke und Randbedingungen, Greensche Formeln, Greensche Funktion) und der grundlegenden Auflösungssätze von homogenen und inhomogenen Systemen.

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