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Einbettungsprobleme mit lokaler Vorgabe und freie Produkte lokaler Galoisgruppen. (German) Zbl 0263.12006

Ce travail se présente comme une synthèse de deux questions. D’une part, le problème du plongement classique, c’est-à-dire, à partir de la-donnée d’une extension galoisienne de corps de nombres \(L/K\) de groupe de Galois \(G\) et d’une extension de \(G\) définie par une suite exacte \(1\rightarrow A\rightarrow E\rightarrow G\rightarrow 1\), la recherche d’une extension galoisienne \(N/K\) telle que \(\text{Gal}\,N/K\) soit isomorphe à \(E\) et que l’homomorphisme restriction donne lieu à la suite exacte écrite ci-dessus. D’autre part, l’existence, étant donnés un corps de nombres \(K\), une famille \(S\) de places de \(K\) et des extensions \(L_y/K_y\) des complétés \(K_y\) de \(K\) pour les \(y\) de \(S\), d’une extension \(L/K\) dont les \(L_y/K_y\) sont les complétés.
Dans la première partie l’A. commence par énoncer clairement le problème abstrait du plongement avec contraintes locales. Il précise ensuite dans le cas d’un noyau abélien des conditions nécessaires et suffisantes de plongement portant sur des groupes de cohomologie. La seconde partie est consacrée au problème de plongement sur des corps de nombres algébriques. Elle débute par une généralisation du théorème de Grunwald fondée sur la notion de corps de nombres “puissants” (potente Zahlkörper). Cette classe est assez vaste puisque les corps de nombres possédant une infinité de valuation discrètes non conjuguées sur \(\mathbb Q\) (ce qui est le cas des extensions finies de \(\mathbb Q\) et des \(F\)-extensions de \(\mathbb Q\)), en font partie. Il démontre en particulier que pour un tel corps le problème d’existence avec groupe abélien et contraintes locales en un nombre fini de places admet toujours une solution propre, à moins d’être dans le “cas special”.
Il montre ǵalement que si pour un tel corps, et en dehors de “cas special”, on suppose que la dimension cohomologique est inférieure ou égale à 1 alors le probleème du plongement avec contraintes locales en un nombre fini de places et un noyau résoluble admet toujours une solution propre.
Dans le dernier chapitre, l’auteur met l’accent sur le lien entre le problème du plongement avec contraintes locales et la notion de produit libre de groupes profinis. Cela le conduit à l’énonce suivant que l’on peut considérer comme un principe de localisation-globalisation: “Soient \(K\) la \(F\)-extension de \(\mathbb Q\) associé à un nombre premier \(p\) impair et \(\mathfrak G\) le groupe de Galois de \(p\)-extension maximale de \(K(p)\) de \(K\). Pour chaque place \(p\) de \(K\) distincte de la place \(\mathfrak p_0\) audessus de \(p\), désignons par \(\mathfrak G_{\mathfrak p}\) un groupe de décomposition de \(K(p)/K\). Alors: \(\mathfrak G= \widehat{\prod}_{\mathfrak p\neq \mathfrak p_0} \mathfrak G_{\mathfrak p}\) (pro-\(p\)-produit libre)”. Il en déduit le corollaire suivant:
Tout problème de plongement sur \(K\) avec contraintes locales pour tous les \(\mathfrak p\neq \mathfrak p_0\) et un \(p\)-groupe donné \(A\) comme noyau admet une solution unique. La démonstration de ces résultats met en œuvre des méthodes arithmétiques profondes, l’auteur, à son habitude, en a fait une rédaction remarquable.
Reviewer: J. J. Payan

MSC:

11R32 Galois theory
11S20 Galois theory
11R34 Galois cohomology
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