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On the ambiguous classes and monogenic orders of a cyclic extension of odd prime degree over \(\mathbb Q\) or an imaginary quadratic field. (Sur les classes ambiges et les ordres monogènes d’une extension cyclique de degré premier impair sur \(\mathbb Q\) ou sur un corps quadratique imaginaire.) (French) Zbl 0269.12003

\(k\) bezeichne den Körper \(\mathbb Q\) der rationalen Zahlen oder einen imaginär quadratischen Zahlkörper. Ferner sei \(K/k\) eine zyklische Erweiterung vom Primzahlgrad \(p\,(\neq 2)\) und \(A_K\) bzw. \(A_k\) seien die ganzen Elemente von \(K\) bzw. \(k\). Verf. beschäftigt sich mit der Frage, wann der Ring \(A_K\) monogen bezüglich \(A_k\), d.h. wann \(A_K=A_k[\theta]\) für ein \(\theta\in A_k\) ist. Ein Ergebnis:
Seien \(\mathfrak P_1,\dots,\mathfrak P_t\) die in \(K/k\) verzweigten Primideale von \(K\). Falls \(A_K=A_k[\theta]\), so ist \(\mathfrak P_1,\dots,\mathfrak P_t\) ein Hauptideal, von dem sich ein erzeugendes Element in Beziehung zu \(\theta\) angeben läßt.

MSC:

11R33 Integral representations related to algebraic numbers; Galois module structure of rings of integers
11R18 Cyclotomic extensions
11R11 Quadratic extensions
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References:

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