×

zbMATH — the first resource for mathematics

Exposition of some properties of the class number of ideal complex numbers. (Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenzahl idealer complexer Zahlen.) (German) JFM 02.0097.01
Eine endliche Zahl von Elementen \(\varTheta', \varTheta'', \varTheta''',\dots\) soll so beschaffen sein, dass mittels einer bestimmten Operation, welche symbolisch durch das Multiplicationszeichen angedeutet werden mag, aus zweien ein drittes abgeleitet wird. Diese Operation soll folgende Eigenschaften haben: 1) \(\varTheta' \varTheta'' =\varTheta'' \varTheta'\), 2) \(\varTheta' (\varTheta' \varTheta''')=(\varTheta' \varTheta'')\varTheta'''\), 3) \(\varTheta' \varTheta\) ist von \(\varTheta' \varTheta'''\) verschieden, wenn \(\varTheta''\) von \(\varTheta'''\) verschieden ist. Es gelten dann die Sätze: Unter den verschiedenen Potenzen von \(\varTheta\) giebt es solche, die der Einheit äquivalent sind. Die Exponenten dieser sind ganze Vielfache des kleinsten, zu dem das betreffende \(\varTheta\) “gehört”. Gehört ein \(\varTheta\) zu \(\nu\), so gehört auch stets ein \(\varTheta'\) zu jedem Theiler von, \(\nu\). Ist \(n_1\) die kleinste Zahl, welche sämmtliche \(\nu\) als Theiler enthält, so giebt es Elemente \(\varTheta\), die zu \(n_1\) gehören. – Eins derselben sei \(\varTheta_1; \varTheta'\) und \(\varTheta''\) heissen “relativ äquivalent”, wenn \(\varTheta' \varTheta_1^k \sim \varTheta''\). Sondert man aus dem System der \(\varTheta\) ein solches ab, in dem keine 2 einander äquivalent sind, so gelten von ihm die obigen Sätze; es giebt also eine Zahl \(n_2\), so dass jedes \(\varTheta\) des neuen Systems \(\varTheta^{n_2} \sim \varTheta_1^{k_1}\) liefert. Dieses \(n_2\) ist ein Theiler von \(n_1\); zu ihm gehöre \(\varTheta_2\). Ebenso bilde man ein neues System, in dem für keine zwei \(\varTheta\) die Gleichung \(\varTheta_\lambda \varTheta_1^k \varTheta_2^l \sim\varTheta_\mu\) gilt u.s. w., so kommt man zu einem Systeme von Fundamentalelementen \(\varTheta_1, \varTheta_2, \varTheta_3,..\) die bezüglich zu \(n_1, n_2, n_3..\) gehören, und mittels deren sich jedes in der Form \(\varTheta_1^{m_1} \varTheta_2^{m_2} \varTheta_3^{m_3}..(m_1<n_1, m_2<n_2..)\) darstellen lässt. Dieses System ist mit dem von Schering aufgestellten identisch. – Diese Theorie wird auf beliebige complexe Zahlen angewendet. Es sei \(\omega\) Wurzel einer irreductibelen Gleichung \(m^{\text{ten}}\) Grades, deren Coefficienten ganze complexe Zahlen \(\varphi(\varrho)\) sind, wobei der Ausdruck “irreductibel” im Sinne eben dieser complexen Zahlen zu verstehen ist. Alsdann ist die Klassenzahl für die complexen Zahlen \(f(\omega)\), welche die Zahlen \(\varphi(\varrho)\) mit in sich begreifen, ein Product zweier Factoren, von denen der eine die Klassenzahl für die Zahlen \(\varphi(\varrho)\) bedeutet. Jeder in diesem Factor enthaltene Primtheiler von \(m\) ist auch in dem anderen Factor enthalten. Wenn es ferner ideale, (nicht wirkliche) Zahlen \(\varphi(\varrho)\) giebt, deren \(m^{\text{te}}\) Potenz wirklich ist, so giebt es auch unter denjenigen idealen Zahlen \(f(\omega)\), welche keiner Zahl \(\varphi(\varrho)\) äquivalent sine, solche, deren \(m^{\text{te}}\) Potenz einer Klasse der Zahlen \(\varphi(\varrho)\) angehört. Ist endlich \(d\) irgend ein Divisor von \(m_1\), für den eine ideale Zahl \(\varphi(\varrho)\), zur \(d^{\text{ten}}\) Potenz erhoben, wirklich wird, ohne dass dies schon für eine niedrigere geschieht, so giebt es auch ideale Zahlen \(f(\omega)\), die so beschaffen sind, dass die \(d^{\text{te}}\) Potenz derselben, aber keine niedrigere, einer der idealen Zahlen \(\varphi(\varrho)\) äquivalent wird.

MSC:
11R29 Class numbers, class groups, discriminants
Keywords:
Class number
PDF BibTeX XML Cite