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Elementary and analytic theory of algebraic numbers. (English) Zbl 0276.12002

Monografie matematyczne. Tom 57. Warszawa: PWN - Polish Scientific Publishers. 630 p. $ 30.00 (1974).
Das Anliegen dieses Buches ist eine Darstellung der Theorie algebraischer Zahlen mit Ausnahme der Klassenkörpertheorie und ihrer Konsequenzen. Der angebotene Lehrstoff läßt sich in drei große Abschnitte untergliedern. Abschnitt 1 behandelt die Grundlagen der Theorie algebraischer Zahlkörper, und zwar vom idealtheoretischen Standpunkt. Abschnitt 2 beschäftigt sich mit der lokalen und semi-lokalen Theorie, unter besonderer Berücksichtigung der harmonischen Analyse auf lokalkompakten abelschen Gruppen und der Tateschen Zetafunktionen. Als Schlußfolgerung bringt der Abschnitt 3 zunächst die Hauptergebnisse über Heckesche Zetafunktionen. Sie sind dann das entscheidende Hilfsmittel für die Untersuchung der Primidealverteilung und der Klassenzahl.
Das Buch ist breit und verständlich geschrieben und verlangt vom Leser nur Grundkenntnisse in Topologie und Algebra (Galois-Theorie). Am Ende jedes Kapitels finden sich ausführliche Bemerkungen zu den jeweils behandelten Themenkomplexen, angefangen von der historischen Entwicklung bis hin zu neueren und neuesten Entwicklungen und Ergebnissen, die weit über den Umfang des eigentlichen Textes hinausweisen. Die Bemerkungen sind versehen mit Hinweisen auf ein mehr als 2000 Titel (!) umfassendes Literaturverzeichnis und machen das Buch auch für den Fachmann zu einer wertvollen Hilfe. Leider findet man keine Übungsaufgaben, dafür aber am Schluß des Buches 35 ungelöste Probleme, hauptsächlich zu den Themen „Verteilung ganzer Zahlen in der komplexen Ebene“, „Struktur der ganzen Zahlen als Galois-Modul“, „Einheiten“, „Klassenzahl und Klassengruppe“, „Faktorisierung“. Nr. 19 ist inzwischen gelöst [K. Györy, Acta Arith. 2, 419–426 (1973; Zbl 0269.12001)].
Nun einige Einzelheiten: Kapitel I beschäftigt sich mit Dedekindschen Ringen und Bewertungen. Es enthält insbesondere den Struktursatz für endlich erzeugte Moduln über Dedekindschen Ringen. Kapitel II behandelt Fragen der Verteilung ganzer Zahlen in der komplexen Ebene und die Absolutdiskriminante. (Minkowski’s Hilfssatz über konvexe Körper wird nur zitiert). Kapitel III ist den Bewertungen algebraischer Zahlkörper, den Strahlklassengruppen, dem S-Einheitensatz und den Euklidischen Zahlkörpern gewidmet.
In Kapitel IV werden relative Erweiterungen behandelt. Die Beziehungen zwischen der Differente und den Ableitungen kommutativer Ringe (A. Weil) werden zum Beweis des Satzes über die Differentenprimteiler genutzt. Den Ergebnissen über die Primidealzerlegung und ihre explizite Berechnung folgen zahlreiche Beispiele (quadratische Körper, Kreisteilungskörper, Kummererweiterungen). Für die in Frage kommenden imaginär quadratischen und Kreisteilungskörper wird nachgewiesen, daß die Klassenzahl gleich eins ist. Schließlich folgen noch einige Resultate über das Verhalten der Klassengruppe bei Körpererweiterungen.
Kapitel V enthält die Grundbegriffe der Theorie lokaler Körper und den lokalen Teil der Tateschen Theorie der Zetafunktionen. Als Ergänzung wird im Anhang 1 eine Einführung in die Theoriederlokalkompakten abelschen Gruppen gegeben. Kapitel VI bringt Anwendungen auf die algebraischen Zahlkörper. Es werden die Zerlegungsgesetze in absolut abelschen Körpern, die Gaußschen Summen und Shafarevichs Beweis des Satzes von Kronecker-Weber behandelt. Der Abschnitt über Adele und Idele gipfelt in dem Tateschen Beweis der Funktionalgleichung für die Zetafunktionen.
Kapitel VII beginnt mit den Heckeschen Zetafunktionen. Hauptergebnisse sind die Funktionalgleichung, das Residuum an der Stelle \(s=1\) \((s\) die komplexe Variable) und das Nichtverschwinden auf der Geraden \(\operatorname{Re}(s) = 1\). Danach bereitet die Untersuchung der asymptotischen Verteilung von Idealen und Primidealen kaum noch Schwierigkeiten. Die Regularität verschiedener Mengen von Primidealen und ihre Dirichlet-Dichten folgen sofort. An quantitativen Aussagen werden u.a. der Primidealsatz (für Idealklassen), der Idealsatz und ein Satz von Wintner (über diejenigen natürlichen Zahlen, welche bezüglich einer absolut normalen Erweiterung als Normen ganzer Ideale auftreten) bewiesen. Die hierbei und in einigen folgenden Abschnitten des Buches benötigten Resultate über Dirichletsche Reihen, insbesondere ein Tauberscher Satz von Ikehara und Delange, sind im Anhang II aufgeführt. Weiter wird auf die Beziehungen zwischen der Form des Restgliedes in der asymptotischen Beschreibung der Primidealfunktion und den nullstellenfreien Gebieten der Zetafunktionen im kritischen Streifen eingegangen. Der Dich_tigkeitssatz von Chebotarev wird ohne Artinsche \(L\)-Funktionen behandelt. Es folgen einige Anwendungen, u.a. auf die Frage, wie weit eine Zahlkörpererweiterung \(L/K\) durch die Menge derjenigen unverzweigten Primideale von \(K\) bestimmt ist, die in \(L\) wenigstens einen Primteiler vom Trägheitsgrad 1 besitzen.
Kapitel VIII bringt die Klassenzahlformel für absolut abelsche Zahlkörper und den Brauer-Siegelschen Satz über das asymptotische Verhalten von \(h(K).R(K)\) \((h = \) Klassenzahl, \(R = \) Regulator) in dem Spezialfall, daß \(K\) die absolut abelschen Körper von festem Grad durchläuft. Besondere Aufmerksamkeit gilt der Klassenzahl quadratischer Körper. Zunächst wird die Beziehung zur Klassenzahl binärer quadratischer Formen hergestellt. Es folgen Dirichlet’s explizite Klassenzahlformel und als Anwendung Klassenzahlabschätzungen. Nach dem Beweis des Hauptgeschlechtssatzes ergibt sich mit dem Satz von Brauer-Siegel, daß das Klassenzahl-1-Problem für total imaginäre Normalkörper vom Absolutgrad 4 eine endliche Lösung besitzt.
Im abschließenden Kapitel IX geht es zunächst um das asymptotische Verhalten arithmetischer Funktionen. Z.B. wird das Piltzsche Teilerproblem für algebraische Zahlkörper behandelt. Es folgen quantitative Resultate über die Faktorisierung, u.a. ein Satz von L. Carlitz zur Charakterisierung von Körpern der Klassenzahl 2 und Ergebnisse des Verf. zur Faktorisierung natürlicher Zahlen in absolut normalen Erweiterungen.

MSC:

11Rxx Algebraic number theory: global fields
11-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11R04 Algebraic numbers; rings of algebraic integers
11R18 Cyclotomic extensions
11R27 Units and factorization
11R29 Class numbers, class groups, discriminants
11R42 Zeta functions and \(L\)-functions of number fields
11R45 Density theorems
11R56 Adèle rings and groups
11S15 Ramification and extension theory
11S40 Zeta functions and \(L\)-functions

Citations:

Zbl 0269.12001