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Valeurs des fonctions zêta aux entiers négatifs. (French) Zbl 0276.12015

Sémin. Théorie Nombres 1970–1971, Univ. Bordeaux, Exp. No. 27, 30 p. (1971).
Es werden Vermutungen über die Werte der Dedekindschen Zetafunktion \(\zeta_K\) eines total reellen algebraischen Zahlkörpers \(K\) für negative ganze rationale Zahlen angegeben. Verf. beweist wie H. Klingen [Math. Ann. 145, 265–272 (1962; Zbl 0101.03002)] und C. L. Siegel [Nachr. Akad. Wiss. Gött., II. Math.-Phys. Kl. 1969, 87–102 (1969; Zbl 0186.08804)], daß für jede Idealklasse \(C\) von \(K\) und jede gerade ganze rationale Zahl \(n\ge 2\) \(\zeta_K (1-n, C)\) eine rationale Zahl ist. Einer Vermutung von J. P. Serre zufolge gilt für jede rationale Primzahl \(p\) und jedes Primideal \(\mathfrak p\) von \(K\) mit \(p\mid\mathfrak p\) \[ (N_{K,\mathbb Q}(\mathfrak p)^n - 1) \zeta_K (1 - n)2^{-d}\in \mathbb Z[\tfrac1p] \] \((d= [K: \mathbb Q]\), \(N_{K,\mathbb Q} = \) Absolutnorm), was vom Verf. für absolut-abelsche \(K\) bewiesen wird. In diesem Fall wird außerdem \[ \zeta_K(1 - n) / \zeta_{\mathbb Q}(1- n)\in 2^{d-v+1}\mathbb Z \] erhalten \((v\ge 2\) die größte ganze rationale Zahl mit \(K(\sqrt[4]{1}) = K(\sqrt[2^v]{1}))\).
[For the entire collection see Zbl 0267.00012.]

MSC:

11R42 Zeta functions and \(L\)-functions of number fields