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Microfunctions and pseudo-differential equations. (English) Zbl 0277.46039
Hyperfunctions pseudo-diff. Equations, Proc. Conf. Katata 1971, Lect. Notes Math. 287, 263-529 (1973).
Diese Vorlesungsausarbeitung ist die erste zusammenfassende Darstellung der Satoschen Theorie der Mikrofunktionen und der Folgerungen für partielle Differentialgleichungen, die daraus von den drei Verff. abgeleitet wurden. Die Lektüre ist jedoch nicht einfach. Sei \(M\) eine reell-analytische Mannigfaltigkeit, \(S^*M\) das Cosphärenbündel über \(M\), \(\mathcal A\) die Garbe der Keime analytischer Funktionen und \(\mathcal B\) die Garbe der Hyperfunktionskeime auf \(M\). Eine Mikrofunktion ist ein Schnitt der Garbe \(\mathcal C\) auf \(S^*M\), die die Eigenschaft hat, dass \(\pi^*\mathcal C\cong \mathcal B/\mathcal A\) ist, dabei ist \(\pi\) die kanonische Projektion von \(S^*M\) auf \(M\). Die Mikrofunktionen liefern eine spektrale Zerlegung der Singularitäten von Hyperfunktionen. Für Distributionen findet man eine ähnliche Konstruktion bei L. Hörmander [Acta Math. 127, 79–183 (1971; Zbl 0212.46601)]. Die Konstruktion der Garbe \(\mathcal C\) verwendet wesentlich kohomologische Methoden, wie relative Kohomologiegruppen, die derivierte Kategorie und das Verschwinden gewisser Kohomologiegruppen und ist zu kompliziert, um hier wiedergegeben zu werden. Eine elementare Konstruktion findet man bei P. Schapira [in: Sémin. Goulaouic-Schwartz 1970-Équat. dériv. part. Analyse fonction. No. 11, 15 p. (1971; Zbl 0234.46044)]. Mit Hilfe der Garbe \(\mathcal C\) wird der wesentliche Träger \(SS(u)\) einer Hyperfunktion \(u\) definiert. (Analog dafür ist für eine Distribution \(u\) die Wellenfront \(WF(u)\); vgl. [Zbl 0212.46601]). Ist \((X,\xi)\) ein Punkt in \(S^*M\) (in lokalen Koordinaten) so ist \((X,\xi)\not\in SS(u)\), wenn \(u\) in einer Umgebung \(\Omega\) von \(x\) sich als endliche Summe \(u=\sum_{j=1}^k u_j\) schreiben lässt; dabei ist \(u_j\) Randwert einer Funktion, die in \(\Omega+i\Gamma_j\) holomorph ist, und die \(\Gamma_j\), \(j=1,\dots,k\), sind Kegel, die in \(\{y:y\in\mathbb{R}^n,\langley,\xi\rangle<0\}\) enthalten sind. Die Projektion von \(SS(u)\) auf \(M\) ist der singuläre Träger von \(u\), d.h. die Menge der Punkte in \(M\), in denen \(u\) nicht reell-analytisch ist. Es werden dann Beispiele angegeben und das Rechnen mit Mikrofunktionen behandelt. Als Folgerung ergibt sich der Satz von Sato, dass für due Lösungen der Gleichung \(Pu=0\), \(P\) ein Pseudodifferentialoperator (endlicher Ordnung) gilt: \(SS(u)\subset\{(x,\xi):P_m(x,\xi)=0\}\), wobei \(P_m(x,\xi)\) das Hauptsymbol von von \(P\) ist. Weiter wird die Struktur von Systemen von Pseudodifferentialoperatoren untersucht. Es zeigt sich, dass unter gewissen Voraussetzungen ein System von Pseudodifferentialoperatoren mikrolokal (d.h. lokal bezüglich \(x\) und \(\xi\)) mittels kanonischer Transformationen auf eine einfache Form transformiert werden kann, die sich grob gesprochen aus einigen einfachen Typen von Differentialoperatoren (Cauchy-Riemann-System, de Rham-System, Gleichung von hans Lewy) zusammensetzt. Daraus ergeben sich Folgerungen für die Lösungen.

MSC:
46F15 Hyperfunctions, analytic functionals
35S05 Pseudodifferential operators as generalizations of partial differential operators
46-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to functional analysis
35-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to partial differential equations
58J40 Pseudodifferential and Fourier integral operators on manifolds
46M99 Methods of category theory in functional analysis