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On weird and pseudoperfect numbers. (English) Zbl 0279.10005
Die Autoren nennen eine natürliche Zahl $n$ (1) pseudo-vollkommen, wenn sie Summe verschiedener echter Teiler von $n$ ist, (2) defizient, wenn sie größer ist als die Summe aller ihrer echten Teiler und (3) sonderbar (weird), wenn sie weder pseuo-vollkommen noch defizient ist. Eine Liste der (erstaunlich seltenen) sonderbaren Zahlen $\le 10^6$ wird gegeben. U.a. wird bewiesen, daß die sonderbaren Zahlen positive Dichte haben und daß es zu jedem $x > 0$ pseudo-vollkommene Zahlen gibt, deren Primfaktoren sämtlich $ > x$ sind. Offen bleibt u.a. die Frage, ob für sonderbare Zahlen $n$ der Quotient $\sigma(n)/n)$ beschränkt bleibt. Er bleibt beschränkt für die Zahlen $n$ mit folgender weitergehenden Eigenschaft: Kein Teiler von $n$ ist Summe verschiedener anderer Teiler von $n$. Allgemeiner besagt nämlich ein älterer Satz von {\it P. Erdős} [Mat. Lapok 13, 28-37 (1962; Zbl 0123.25503)]: Ist $a_1< \ldots <a_k$ eine Folge natürlicher Zahlen, so daß kein Term die Summe verschiedener anderer Terme ist, so gilt $\sum_i 1/a_i<C$ mit einer universellen Konstanten $C$. Der interessante Beweis wird hier aus dem Ungarischen übersetzt. [Auf S. 622, Z. 20 sollte $\sigma(t)$ durch $\sigma(t)-t$ ersetzt werden.]
Reviewer: W.Borho

11A25Arithmetic functions, etc.
11B39Fibonacci and Lucas numbers, etc.
11-04Machine computation, programs (number theory)
11P99Additive number theory
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