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Uniform distribution of sequences. (English) Zbl 0281.10001
Pure and Applied Mathematics. New York etc.: John Wiley & Sons, a Wiley-Interscience Publication. xiv, 390 p. £13.00 (1974).
Das vorliegende Buch ist das erste, welches ausschließlich der Theorie der Gleichverteilung gewidmet ist und es ist auch das erste, welches die sogenannte abstrakte Theorie der Gleichverteilung behandelt. Besonders bemerkenswert ist die große Stoffülle, die hier bearbeitet wurde. Dies sieht man auch schon daraus, daß das Literaturverzeichnis 34 Seiten umfaßt. Die Verfasser dürften wohl kaum eine Arbeit auf diesem Gebiet übersehen haben, zu dem sie bedeutendes beigetragen haben. Das Buch gliedert sich in 5 Kapitel:
Das erste Kapitel beschäftigt sich mit der klassischen Theorie der Gleichverteilung Modulo 1 und enthält außer den Grundlagen den Hauptsatz von Van der Corput, den maßtheoretischen Satz von J. F. Koksma und die gleichmäßig gleichverteilten Folgen. Natürlich wird auch entsprechend auf den mehrdimensionalen Fall eingegangen und die Verallgemeinerung der Theorie von I. Schönberg wird ebenfalls behandelt; auch die Idee von M. Tsuji, statt des arithmetischen Mittels allgemeinere Summierungsverfahren zu benützen, findet den gebührenden Platz. Das Kapitel wird abgeschlossen durch die Theorie der normalen Zahlen und der stetigen Gleichverteilung Modulo 1.
Das zweite Kapitel ist der quantitativen Theorie der Gleichverteilung, der Theorie der Diskrepanz, gewidmet. Die Resultate von K. F. Roth und W. Schmidt werden hergeleitet, ebenso der Satz von P. Erdös-P. Turán, der nach einer neuen Methode von H. Niederreiter und W. Philipp bewiesen wurde. Spezielle Folgen werden in bezug auf ihre Diskrepanz untersucht. Umordnungssätze und die Anwendung der Theorie der Gleichverteilung auf numerische Integration werden im angemessenen Umfang besprochen.
Mit dem dritten Kapitel wenden sich die Verfasser der abstrakten Theorie der Gleichverteilung zu. Es behandelt die Theorie der Gleichverteilung in kompakten Räumen in der Fassung, wie sie z.B. von dem Referenten und anderen entwickelt wurde. Das vierte Kapitel beschäftigt sich mit der Theorie der Gleichverteilung in topologischen Gruppen. Diese Theorie hat ihren Ausgangspunkt in einer Arbeit von B. Eckmann genommen; z. B. ist den Untersuchungen von G. Helmberg ein eigener Paragraph gewidmet. Die Verfasser behandeln auch den Fall der lo-kalkompakten Gruppen, bei dem noch vieles offen ist.
Das letzte Kapitel beschäftigt sich mit Folgen von ganzen Zahlen und Polynomen. Hier hat vor allem J. H. Hodges, um nur einen Namen zu erwähnen, große Verdienste aufgewiesen.
Diese vorliegende Inhaltsangabe ist natürlich unvoll-ständig. Hervorheben möchte ich noch, daß jedes Kapitel mit ”Notes” versehen ist, die außerordentlich wertvoll sind. Selbstverständlich enthält das Buch auch Resultate, welche von den Verfassern hier zuerst veröffentlicht werden.
Das vorliegende Buch bedeutet eine wertvolle Bereicherung der Literatur und wird für lange Zeit ein Standardwerk auf diesem Gebiet sein.

MSC:
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11J71 Distribution modulo one
11K06 General theory of distribution modulo \(1\)
11K16 Normal numbers, radix expansions, Pisot numbers, Salem numbers, good lattice points, etc.
11K36 Well-distributed sequences and other variations
11K38 Irregularities of distribution, discrepancy
65D30 Numerical integration
22D99 Locally compact groups and their algebras
54D45 Local compactness, \(\sigma\)-compactness