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Zur Existenz bedingter Verteilungsgesetze. I. (German) Zbl 0287.60006

Die vorliegende Arbeit behandelt auf axiomatischem Wege die Frage nach der Eisten bedingter Verteilungsgesetze. Die zu diesem Zwecke eingeführten Wahrscheinlichkeitsräume vom Typ (B) sind automatisch perfekt. Damit ist auch im Bereich der Räume vom Typ (B) der Kolmogorovsche Ausdehnungssatz gültig. Wie im Falle der perfekten Wahrscheinlichkeitsräume machen eine Reihe effektiver Kriterien den Begriff des Wahrscheinlichkeitsraumes vom Typ (B) brauchbar. Dazu werden in der vorliegenden Arbeit Invarianzeigenschaften der Klasse der Räume vom Typ (B) gegenüber Produktbildung, Unterraumbildung, Erweiterung der \(\sigma\)-Algebra und meßbaren Abbildungen abgeleitet. Die Erhaltungssätze für den Übergang zum Unterraum und zum Produktraum bleiben auch für meßbare Räume vom Typ (B), d.h. solche meßbaren Räume, für die jedes Wahrscheinlichkeitsmaß einen Wahrscheinlichkeitsraum vom Type (B) liefert, richtig. Die Kombination dieser Sätze mit der Tatsache, daß jeder endliche meßbare Raum vom Typ (B) ist, ermöglicht die Konstruktion einer sehr ausgedehnten Klasse von meßbaren Räumen vom Typ (B). Die Behandlung der perfekten Maßräume geht von der Tatsache aus, daß die perfekten Maße gerade die quasi-kompakten Maße im Sinne von Ryll-Nardzewski sind. Damit werden letzten Endes topologische Methoden herangezogen. Die Räume vom Typ (B) werden in einem rein wahrscheinlichkeitstheoretischen Rahmen durch systematische Ausnutzung des Begriffs der Übergangswahrscheinlichkeit behandelt. Damit ist auch zu den perfekten Maßräumen ein rein wahrscheinlichkeitstheoretischer Zugang geschaffen, da bei abzählbar erzeugter \(\sigma\)-Algebra Perfektheit und Eigenschaft (B) zusammenfallen. Im allgemeinen, d.h. für nicht abzählbar erzeugte \(\sigma\)-Algebra sind die Begriffe perfekt und vom Typ (B) nicht identisch
Reviewer: Friedrich Liese

MSC:

60A05 Axioms; other general questions in probability
28A10 Real- or complex-valued set functions
60E05 Probability distributions: general theory
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References:

[1] Blackwell, Proc. Third. Symp. math. Stat. and Prob., vol. pp 1– (1956)
[2] Darst, Ann. Math. Stat. 42 pp 352– (1971)
[3] and , Limit distributions for sums of independent variables, translated by K. L. Chung with an appendix by J. L. Doob, Cambridge, 1954.
[4] Pfanzagl, Compac. systems of sets, Lecture Notes in Mathematics 16 (1966) · Zbl 0161.36604 · doi:10.1007/BFb0078990
[5] Ryll-nardzewski, Fund. math. pp 125– (1953)
[6] Russian Text Ignored. 26 pp 391– (1962)
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