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A class of nonanalytic automorphic functions. (English) Zbl 0288.10010

Sei \(\Gamma\) eine diskrete Untergruppe von \(\mathrm{SL}(2, \mathbb R)\). Beide Gruppen wirken in bekannter Weise als nicht-euklidische Bewegungen auf der oberen Halbebene \(H= \{z=x+iy, y>0\}\). Der Autor setzt voraus, daß \(\Gamma\) einen Fundamentalbereich von endlicher nicht-euklidischer Fläche und nur eine parabolische Untergruppe \(\Gamma_\infty\) mit Spitze \(\infty\) besitzt. Der zur nicht-euklidischen Metrik gehörige Laplace-Operator ist \(D = y^2(\partial^2/\partial x^2+\partial^2/\partial y^2)\), und der Autor interessiert sich für \(\Gamma\)-invariante Lösungen von \(Df = s(s - 1)f\). Er konstruiert solche Lösungen nach der Methode der Quersummation, indem er für \(\operatorname{Re}(s)>1\) setzt: \[ F_(z, s) = \sum_{M\in \Gamma_\infty\backslash\Gamma} e(n\operatorname{Re}(Mz))(\operatorname{Im}(Mz))^{\frac12}I_{s- \frac12}(2\pi \vert n\vert \operatorname{Im}(Mz)). \] Hierbei ist \(e(z) = e^{2\pi iz}\) und \(I_{s- \frac12}\) die modifizierte Besselfunktion 1. Art. Der Autor berechnet die Fourier-Koeffizienten dieser Funktionen und zeigt, daß sie Verallgemeinerungen der Fourier-Koeffizienten analytischer automorpher Funktionen sind.
Für die analytische Fortsetzung der Funktionen \(F_n(z,s)\) in den Bereich \(\operatorname{Re}(s)<1\) greift der Autor auf die in [A.Selberg, J. Indian Math. Soc. 20, 47–87 (1956; Zbl 0072.08201)] dargestellten Ergebnisse zurück, die dort allerdings großenteils nicht bewiesen sind. Ein Teil der benutzten Ergebnisse ist inzwischen von W. Roelcke [Math. Ann. 167, 292–337 (1966); ibid. 168, 261–324 (1967); Zbl 0152.07705] und von anderen bewiesen worden.
Der Autor betrachtet die Funktion \[ k_s(z,z') = \frac1{2\pi} Q_{s-1}(\cosh d(z,z')), \] wobei \(Q_{s-1}\) Legendre-Funktion 2. Art und \(d(z,z')\) die nicht-euklidische Entfernung ist. Nun bildet er für \(\operatorname{Re}(s)>1\) und \(\operatorname{Re}(w)>1\) die Funktion \[ G(z,z',s,w) = \sum_{M\in\Gamma} (k_s(z,Mz') - k_w(z,Mz')). \] (Die Funktion \(\sum_{M\in\Gamma} k_s(z,Mz')\) wurde mit anderen Bezeichnungen von W. Roelcke (1967, loc. cit.) als Resolventenkern verwendet.) Entwickelt man \(G\) als Funktion von \(z\) in eine Fourier-Reihe, so tauchen die \(F_n(z')\) als Fourier-Koeffizienten auf. Die analytische Fortsetzung von \(G\) impliziert demnach die der \(F_n\). Die Funktion \(G\) läßt sich nach Eigenfunktionen von \(D\) entwickeln, wobei ein diskretes und kontinuierliches Spektrum auftritt. Die analytische Fortsetzung erfolgt durch Fortsetzung der Entwicklungskoeffizienten, die Konvergenz wird durch Abschätzung der Koeffizienten gesichert. Es ergibt sich wegen der Invarianz der Koeffizienten unter \(s\mapsto 1 - s\) eine Funktionalgleichung von der Form \[ G(s) - G(1 - s) = \frac{E(z,s) E(z',1 - s)}{2s - 1}, \] \((E(z,s)\) ist die Eisensteinreihe) wobei der Term auf der rechten Seite von einem Residuum herrührt, das auftritt, wenn \(s\) den zum kontinuierlichen Spektrum gehörigen Integrationsweg überschreitet. Die Funktionen \(F_n(z,s)\) haben für \(s = 1\) keinen Pol. Diese Tatsache verwendet der Autor, um aus den \(F_n(z,1)\) analytische automorphe Funktionen und alle Spitzenformen vom Gewicht 1 zu konstruieren.
Ein Teil der Ergebnisse wurde vom Referenten [Sitzungsber. Heidelb. Akad. Wiss., Math.-Naturw. Kl. 1973, 2. Abhdl., 62 S. (1973; Zbl 0272.10015)] unabhängig hiervon erzielt.

MSC:

11F03 Modular and automorphic functions
11F12 Automorphic forms, one variable
11F30 Fourier coefficients of automorphic forms
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References:

[1] Acad. Sci. USSR 39 pp 253– (1943)
[2] Tables of Integral Transforms I (1954)
[3] Higher Transcendental Functions I (1953) · Zbl 0051.30303
[4] Elementary theory of Eisenstein series (1973)
[5] J. Indian Math. Soc 20 pp 47– (1956)
[6] Discontinuous groups and automorphic functions (1964) · Zbl 0178.42902
[7] A Treatise on the Theory of Bessel Functions (1952)
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