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The product of consecutive integers is never a power. (English) Zbl 0295.10017
Schon seit etwa 150 Jahren besteht die Vermutung, dass das Produkt von \(k\geq 2\) aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen niemals die Potenz einer natürlichen Zahl ist; d.h. die Gleichung \((n+1)\cdots(n+k)=x^\ell\) ist für \(k\geq 2\) und \(\ell\geq 2\) \((k,\ell,n,x\in\mathbb N_0)\) nicht lösbar. Für den Spezialfall \(\ell=2\) wurde die Vermutung von O. Rigge [ 9. Congr. des Math. Scand. 1938, 155–160 (1939; Zbl 0021.01003)] und vom erstgenannten Verf. [J. Lond. Math. Soc. 14, 194–198 (1939; Zbl 0021.20704); 14, 245–249 (1939; Zbl 0026.38801)] schon früher bestätigt.
Nun wird in dieser Arbeit die Vermutung allgemein bewiesen, und zwar in einer noch etwas schärferen Form: Seien \(k,\ell\) und \(n\in\mathbb N_0\) mit \(k\geq 3\), \(\ell\geq 2\) und \(n+k\geq p^{(k)}\), wobei \(p^{(k)}\) die kleinste Primzahl mit \(p^{(k)}\geq k\) ist. Dann gibt es eine Primzahl \(p\geq k\) für die \(p^{\alpha_p} \| (n+1)\cdots(n+k)\) und \(\alpha_p\not\equiv 0\pmod {\ell}\) ist.
Einige Hinweise auf Verallgemeinerungen und offene Fragen beschliessen die Arbeit.

MSC:
11D61 Exponential Diophantine equations
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