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Proof of the continuity of the roots of an algebraic equation. (Démonstration de la continuité des racines d’une équation algébrique.) (French) JFM 03.0019.04

Cauchy beweist bekanntlich seinen Satz von der Continuität der Wurzeln einer algebraischen Gleichung durch geometrische Interpretation der complexen Grössen und durch Betrachtung geschlossener Curven (Exercices d’analyse et de physique math. II, 109). Herr Bonnet giebt einen elementareren Beweis und spricht das Fundamentaltheorem in etwas anderer Form aus, wie es für die wichtigsten Anwendungen genügt. Zunächst werden die beiden Definitionen aufgestellt: I. “Ist eine bestimmte, reelle oder imaginäre Function \(\varphi(u)\) einer reellen oder imaginären Variablen \(u\) gegeben, so sagt man: 1) diese Function nähert sich einer bestimmten endlichen Grenze \(A\), sobald \(u\) sich einem besonderen Werthe \(u'\) nähert, wenn es möglich ist, nach Fixirung einer reellen positiven, beliebig kein anzunehmenden Grösse \(\varepsilon\), eine andere reelle positive Grösse \(h\) so zu bestimmen, dass für alle \(u\), wofür der Modul der Differenz \(u'- u\) nicht null und kleiner als \(h\) ist, der Modul der Differenz zwischen \(A\) und dem entsprechenden Werthe \(\varphi(u)\) zwischen 0 und \(\varepsilon\) liegt; 2) \(\varphi (u)\) wird unendlich, sobald \(u\) sich \(u'\) nähert, wenn es möglich ist, nach Fixirung einer beliebig grossen reellen und positiven Zahl \(\lambda\), eine andere reelle und positive Zahl \(h\) zu finden, so dass für jeden Werth \(u\), wofür der Modul der Differenz \(u'- u\) nicht 0, aber \(<h\) ist, der Modul des entsprechenden Werthes \(\varphi (u)\) immer \(>\lambda\) ist”.
{II.} “Unter denselben Annahmen für \(u\) und \(\varphi (u)\) sagt man: \(\varphi (u)\) ist stetig in Bezug auf \(u\) für \(u=u'\) oder in der Umgebung von \(u'\), wenn \(\varphi (u)\) für \(u=u'\) einen endlichen und bestimmten Werth hat, und wenn dieser Werth die Grenze ist, gegen welche \(\varphi (u)\) convergirt, sobald \(u\) sich dem \(u'\) nähert.”
Hierauf beweist der Verfasser das folgende Theorem: “Man habe eine algebraische Gleichung \(m^{\text{ten}}\) Grades: \[ A_{0}z^{m} + A_{1}z^{m-1} + A_{2}z^{m-2} + \cdots + A_{m-1}^z z+ A_{m}=0, \] in der die Coefficienten \(A\) reelle oder imaginäre Functionen einer reellen oder imaginären Variabeln \(u\) und stetig in Bezug auf \(u\) für \(u=u'\) seien. Setzt man in dieser Gleichung \(u-u'\), so erhält man eine neue Gleichung mit bestimmten endlichen numerischen Coefficienten: \[ A_{0}'z^{m} + A_{1}'z^{m-1} + A_{2}'z^{m-2} + \cdots + A_{m -1}' z + A_{m}'=0. \] Ist nun \(A_{0}'\) von Null verschieden, so ist die zweite Gleichung ebenso wie die erste von \(m^{\text{ten}}\) Grade; verschwinden aber mehrere Coefficienten \(A_{0}', A_{1}', A_{2}'\ldots\), so wird der Grad der zweiten Gleichung niedriger, beispielsweise \(m-n\). Im ersten Falle convergiren die \(m\) Wurzeln der ersten Gleichung, welche Functionen von \(u\) sind, sobald \(u\) sich dem \(u'\) nähert, gegen bestimmte endliche Grenzen, und diese Grenzen sind resp. gleich den \(m\)Wurzeln der zweiten Gleichung. Im zweiten Fall werden \(n\) Wurzeln der erster Gleichung unendlich, und \(m-n\) Wurzeln nähern sich den \(m-n\) Wurzeln der zweiten Gleichung.”

MSC:

12D10 Polynomials in real and complex fields: location of zeros (algebraic theorems)
12D99 Real and complex fields
12E12 Equations in general fields
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Full Text: EuDML