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Zur Theorie der Bessel’schen Functionen. (German) JFM 03.0221.04
Clebsch Ann. III, 475-487 (1871); IV, 103-116 (1871).
Der Verfasser stellt sich in der ersten Arbeit die Aufgabe, die allgemeinere Differentialgleichung zu finden, von der die drei linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung \[ \begin{aligned} \frac{\partial^2 y}{\partial z^2} & + \frac{1}{z}\cdot \frac{\partial y}{\partial z} + \left(1 - \frac{\nu^{2}}{z^2}\right)y=0,\\ z\frac{\partial^2 y}{\partial z^2} & + a\frac{\partial y}{\partial z} \pm \frac{1}{4}y = 0,\\ \frac{\partial^2 y}{\partial z^2} & + z^{k} y = 0,\end{aligned} \] welche er in seinen “Studien über die Bessel’schen Functionen, Leipzig 1868” (s. F. d. M. I. 139) durch Ausdrücke von der Form \[ y = z^{a}J^{\nu}(\gamma z^{\beta}) \] integrirt hat, specielle Fälle sind. Der linearen Differentialgleichung \[ \text{I.} \qquad \frac{\partial^2 y}{\partial z^2} - \frac{2\nu - 1}{z} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} = y = 0 \] genügt als vollständiges Integral: \[ y = z^{\nu} (A J_{(z)}^{\nu} + BJ_{(z)}^{-\nu}), \] so lange \(\nu\) nicht positiv oder negativ ganz ist. Ist dagegen \(\nu\) positiv oder negativ ganz, \(=\pm n\), so genügt ihr: \[ y = z^{\pm n} (AJ_{(z)}^{n} + BY_{(z)}^{n}) \] als vollständiges Integral. Die Differentialgleichung I. wird nun durch zwei Tranformationen in die gesuchte allgemeinere Gleichung \[ \text{II.} \qquad x^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} + (2 \alpha - 2\beta \nu + 1) \;x\frac{\partial y}{\partial x} + (\alpha (\alpha - 2\beta \nu ) + \beta^{2}\gamma^{2}x^{2\beta}) \;y = 0 \] verwandelt. Diese führt durch geeignete Bestimmung der Coefficienten auf die Riccati’sche Gleichung in der Gestelt: \[ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \pm x^{2\beta - 2}y=0. \] Die aus II. sich ergebende Differentialgleichung \[ \text{III.} \qquad x^{2}\frac{\partial^2 y}{\partial x^{2}} + \alpha x \frac{\partial y}{\partial x} + (b + cx^{2\beta}) \;y = 0 \] nöthigt dazu, die Theorie der Bessel’schen Functionen auch auf complexe Indices auszudehnen. Der Verfasser zeigt nun, dass die beiden Grundgesetze der Bessel’schen Functionen, mithin die ganze bisherige Theorie, auch für complexe Indices gültig ist.
In der zweiten Abhandlung zeigt der Verfasser zunächst, wie man aus einem der beiden particulären Integrale der Bessel’schen Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2 y}{\partial z^2} + \frac{1}{z} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} + \left( 1 - \frac{\nu^{2}}{z^{2}}\right) y = 0 \] eine zweite particuläre Lösung gewinnen kann. Für jeden beliebigen Werth von \(\nu\) gilt die wichtige Gleichung \[ A)\quad J_{(z)}^{\nu} J_{(z)}^{-\nu +1} + J_{(z)}^{-\nu} J_{(z)}^{\nu - 1} = \frac{2}{\pi z} \sin \nu \pi . \] Durch die etwas modificirte Definition der Bessel’schen Function zweiter Art: \[ Y_{(z)}^{n} = J_{(z)}^{n} + L_{(z)}^{n}, \] wo \[ J_{(z)}^{n} = \frac{2}{\pi \cdot 1^{n| 2}}\int_0^{\pi} \cos \;(z\cos \omega )\sin^{2n}\omega\cdot \log \sin^{2} \omega \cdot d\omega - (\psi \;(n - \frac{1}{2}) + \log 2)J_{(z)}^{n} \]
\[ L_{(z)}^{n} = \log z \cdot J_{(z)}^{n} - \frac{1}{2} \sum 2^{p+1}\frac{n^{p+1| -1}}{p + 1} \frac{J_{(z)}^{n-p-1}}{z^{p+1}}, \] und \[ \psi \;(n - \frac{1}{2}) = \psi \;(0) - 2\log 2 + 2\;\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots +\frac{1}{2n + 1}\right), \] gelangt er zu folgender merkwürdingen Beziehung zwischen den Bessel’schen Functionen erster und zweiter Art: \[ B)\qquad Y_{(z)}^{n}J_{(z)}^{n+1} - J_{(z)}^{n} Y_{(z)}^{n+1} = \frac{1}{z}. \] Mit Hülfe der für die Functionen beider Arten geltenden Reductionsformeln ergeben sich nun Erweiterungen der Formeln A) und B). Die darin auftretende Reihe \[ R_{(z)}^{m, \nu} = \sum \;(-1)^{p}\;\frac{(m-p)^{p| -1}}{p!} \;(p + \nu)^{m-2p| 1}\left(\frac{2}{z}\right)^{m-2p} \] hat bemerkenswerthe Eigenschaften und spielt in der Theorie der Bessel’schen Functionen eine grosse Rolle. Sie hat, wie der Verfasser am Schlusse zeigt, eine auffallende Analogie mit den Bessel’schen Functionen selbst.

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