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Zur Theorie der Elimination und der algebraischen Curven. (German) JFM 03.0314.01
Clebsch Ann. IV, 510-526 (1871); Gött. Nachr. 1871, 507 (1871).
Dieser Aufsatz bildet die Einleitung zu dem nachfolgenden “Ueber zwei Berührungsprobleme.” Man wird dort auf die Aufgabe geführt, die Bedingung dafür anzugeben, dass 3 Curven, welche eine gewisse Anzahl von gegebenen Punkten gemeinsam haben, sich in einem weiteren Punkte schneiden. Je nachdem die Gleichungen der Curven alle oder nur theilweise durch die Coordinaten der gemeinsamen Punkte identisch erfüllt werden, ist diese Aufgabe eine durchaus verschiedene. Der Herr Verfasser hat hier die beiden Fälle in Betracht gezogen, dass alle 3 Curven-Gleichungen durch diese Coordinaten identisch erfüllt werden, und dass eine von ihnen die Coordinaten eines den 3 Curven gemeinsamen Punktes nicht explicite enthalte.
{I.} Fall. Zunächst wird angenommen, dass die gegebenen Curven \[ (1)\quad f(x, y)=0, \quad \varphi (x, y)=0, \quad \psi (x, y)=0, \] bez. von der Ordnung \(n\), \(p\), \(q\), nur einen, für alle einfachen Punkt \(\alpha\), \(\beta\), der kurz als Punkt \(\alpha\) bezeichnet werden soll, gemein haben. Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass dieselben sich noch in einem von \(\alpha\) verschiedenen Punkte schneiden, ist das Verschwinden einer ganzen Funktion der Coordinaten \(\alpha\), \(\beta\), welche im Anschlusse an eine ähnliche Bezeichnung von Cayley (Crelle J. XXXIV, Rech. s. l’elimination etc.), die reducirte Resultante der 3 Gleichungen (1) genannt wird. Dieselbe stellt sich dar als Quotient der Variation der Resultante \(R\) dieser Gleichungen in Beziehung auf ein Coefficienten-System z. B. \(\varphi\) und der Funktional-Determinante von \(f\), \(\varphi\), \(d\psi\), darin \(x_{1}=\alpha\), \(x_{2} = \beta\), \(x_{3}=1\) gesetzt. Sie ist demnach in den Coefficienten von \(f\), \(\varphi\), \(\psi\) bez. vom Grade \(pq-1\), \(qn-1\), \(np-1.\) Wenn allgemeiner der Punkt \(\alpha\) bez. \(\nu\)-, \(\pi\)-, \(\kappa\)-facher Schnittpunkt von \(\varphi\), \(\psi\); \(\psi\), \(f\); \(f\), \(\varphi\), so ändern sich diese Zahlen bez. in \(pq - \nu\), \(qn - \pi\), \(np - \kappa\). Im §. 3 wird dies an einzelnen Beispielen ausgeführt und die Bildung der reducirten Resultante gezeigt. Sind endlich den Curven \(f\), \(\varphi\), \(\psi\) ausser dem Punkte \(\alpha\), welcher für dieselben bez. \(b\)-, \(c\)-, \(d\)-fach sein mag, noch andere davon verschiedene Punkte \(\lambda_{1}, \lambda_{2}\cdots\) gemeinsam, die unter sich auch zusammenfallen können, so wird die reducirte Resultante aus den Variationen von \(R\) so hergestellt, als wenn jeder der gemeinsamen Punkte allein vorhanden wäre. Der Grad derselben in \(\alpha\), \(\beta\) lässt sich angeben, wenn man als bekannt voraussetzt den Grad \(\nu\) in \(\alpha\), \(\beta\) desjenigen Ausdruckes, dessen Verschwinden die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür ausdrückt, dass von den \(u\) Schnittpunkten von \(\varphi\), \(\psi\), welche von den Punkten \(\lambda\) verschieden sind, ausser den bereits in \(\alpha\) befindlichen einer, und nur einer nach \(\alpha\) falle. Man findet dann dafür den Ausdruck \[ u\cdot n' + v \cdot p' + w\cdot q' - cd(n + n') - b \cdot \nu , \] wo \(v\), \(w\) eine ähnliche Bedeutung haben, wie \(u\); \(n'\), \(p'\), \(q'\) bez. den Grad \(f\), \(\varphi\), \(\psi\) in \(\alpha\), \(\beta\) bezeichnen.
{II.} Fall. (§. 5). Die Aufgabe kann jetzt auch so ausgesprochen werden: “Die Anzahl der freien Punkte-Paare \(x, \alpha\) auf einer Curve \(f(x)=0\) von beliebigem Gechlechte zu ermitteln, welche zugleich 2 gegebenen Bedingungsgleichungen \[ (2)\quad p (x, \alpha)=0 \quad q(x, \alpha)=0 \] genügen.” Die Bestimmung “frei” deutet an, dass unter die Punkte \(x, \alpha\) weder etwaige feste Durchschnittspunkte der 3 Curven \(f\), \(p\), \(q\) noch singuläre Punkte von \(f\) aufgenommen werden dürfen. Zusammenfallende Punkte \(x\), \(\alpha\) liefern uneigentliche Lösungen, die sich – wenn auch nicht immer vollständig – durch Zurückführung der Aufgabe auf die vorhergehende ausscheiden lassen. – Die verlangte Zahl – vom Herrn Verfasser bereits in den Gött. Nachr. (Oct. 1871) mitgetheilt und auf geometrischem Wege abgeleitet – lässt sich auf folgende Daten zurückführen. Es sei \(p_{1}\) die Anzahl freier Punkte \(\alpha\) von \(f\), welche einem Punkte \(x\) von \(f\) vermöge der Gleichung \(p=o\) entsprechen; ebenso \(p_{2}\) die Zahl freier Punkte \(x\), entsprechend einem Punkt \(\alpha\). Davon fallen je \(b\) in die Punkte \(x\), \(\alpha\) zurück, wenn die Curve \(p\) in \(\alpha\) einen \(b\)fachen Punkt besitzt. Die gleiche Bedeutung sollen \(q_{1}\), \(q_{2}\), \(c\) in Beziehung auf die \(2^{\text{te}}\) Gleichung \(q=o\) haben. Bezeichnet dann \(P\) die Anzahl derjenigen freien Punkte \(\alpha\) auf \(f\), welchen der vermöge der Gleichung \(p=o\) entsprechende Punkt \(x\) unendlich nahe liegt, so ergiebt sich für die Zahl der freien Punktepaare, welche beiden Bedingungen genügen, der Ausdruck: \[ (3)\quad q_{1}(p_{2} - b) + q_{2}(p_{1} - b) - cP. \] Lässt man \(f=o\) in die Gerade \(y=o\) übergehen, so dass in den Gl. (2.) \(y=o\), \(\beta=o\) zu setzen ist, so muss die gesuchte Anzahl offenbar den Werth \((q_{1} - c)(p_{2} - b) + (q_{2} - c)(p_{1}-b)\) erhalten. Dieser folgt auch aus (3), indem jetzt \(P=p_{1} - b + p_{2} - b\) ist.
Den Schluss der Anhandlung bilden Znwendungen auf die Theorie der Raumcurven. Die erhaltenen Formeln sind auf geometrischem Wege von Zeuthen (Brioschi Ann. (2) III. 175-218, s. F. d. M. II. p. 444, JFM 02.0444.01) abgeleitet worden.

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