×

Ueber diejenigen Curven eines Büschels, welche eine gegebene Curve 2 punktig berühren. (German) JFM 03.0319.02

Die Punkte, in welchen eine gegebene Curve \(n^{\text{ter}}\) Ordnung \[ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \equiv f(x) = 0 \] von Curven des Büschels \(s^{\text{ter}}\) Ordnung \[ (B) \quad \alpha \varphi (x) + \beta \psi (x) + \gamma \chi (x) = 0 \] 2punktig berührt wird, liegen auf einer Curve \((3n + 3s - 9)^{\text{ter}}\) Ordnung: \(L=0\), welche eine simultane Covariante der Formen \(f\), \(\varphi\), \(\psi\), \(\chi\) sein muss. – Von den Basispunkten des Büschels \((B)\) seine \(\sigma\) einfache, \(\tau\) Doppelpunkte von \(f=0\). In jedem der letzteren einen 4fachen Punkt, von dessen Zweigen zwei je einen Zweig von \(f=0\) einfach osculiren, so dass in einen solchen Punkt \(4 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 12\) Durchschnittspunkte der beiden Curven fallen. Bemerkt man noch, dass in den \(d - \tau\) Doppel- und den \(\beta\)Rückkehr-Punkten von \(f=0\), welche nicht Basispunkte des Büschels \((B)\) sind, die Curve \(L=0\) dasselbe Verhalten zeigt wie die Hesse’sche Curve von \(f=0\), dass also in jeden derselben 6, bezüglich 8 Durchschnittspunkte von \(f=0\) und \(L=0\) fallen, so ergiebt sich als Anzahl der die Curve \(f=0\) 2punktig berühren Curven des Büschels \((B)\) – wie auch aus geometrischen Untersuchungen bekannt ist – \[ \begin{aligned} & n (3n + 3s - 9) - 3\sigma - 12\tau - 6(d - \tau) - 8\beta\\ = & 3 [ns - \sigma - 2\tau - 2(p-1)] - 2\beta = 3(M + 2p - 2) - 2\beta.\end{aligned} \] Hier bezeichnet \(p\) das Geschlecht von \(f=0, M\) die Ordnung der durch die Transformation \[ \varrho y_{1} = \varphi (x),\quad \varrho y_{2} = \psi (x),\quad \varrho y_{3} = \chi (x) \] aus \(f=0\) hervorgehenden Curve (Clebsch u. Gordan, Abel’sche Funktionen p. 55.). Vorstehende Zahl stellt offenbar auch die Zahl der Wendepunkte dieser Curve dar.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML