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On the conformal map of the surface of a regular octahedron on a sphere. (Ueber die conforme Abbildung der Oberfläche eines regulären Octaëders auf die Oberfläche einer Kugel.) (German) JFM 03.0422.01
Wolf J. XVI. 297-341 (1871).
In dem ersten Theile der vorliegenden Arbeit giebt der Herr Verfasser einen geschichtlichen Ueberblick über die Probleme der mathematischen Abbildung und zeigt, welche Stellung die oben genannte Abbildungsaufgabe unter den die conforme Abbildung überhaupt betreffenden Aufgaben einnimmt. Hier sind es besonders die Arbeiten des Herrn Schwarz, an welche sich die vorliegende Arbeit eng anschliesst. (Vgl. Berl. Monatsber. 1865 p. 150, und 1870 p. 767; Borchardt J. LXX., 105 u. 121; Wolf Z. XV., 272; siehe F. d. M. II., 214 u. 626, JFM 02.0214.02, JFM 02.0214.03, JFM 02.0626.01 und JFM 02.0626.02).
Der zweite Theil enthält die vollständige Lösung des gestellten Problems mit Hülfe der elliptischen Functionen. Der Weg ist derselbe, den H. Schwarz in seiner Abhandlung: Ueber einige Abbildungsaufgaben, Borchardt J. LXX., 119, eingeschlagen hat. Die die Abbildung vermittelnde Function wird analytisch dargestellt mit Hülfe der von H. Weierstrass in seinen Vorlesungen eingeführten elliptischen Functionen. Die allgemeine Aufgabe, die Oberfläche eines regulären Octaeders auf die Oberfläche einer Kugel abzubilden, lässt zwar unendlich viele Lösungen zu; doch ergeben sich aus einer speciellen Abbildungsart alle Abbildungen mit denselben wesentlichen Eigenschaften dadurch, dass man die Oberfläche derjenigen Kugel, auf welche die Octaeder-Oberfläche abgebildet worden ist, conform auf die Oberfläche einer zweiten Kugel von gleichem Radius abbildet, was bekanntlich mit Hülfe reciproker Radien geschieht.

MSC:
14E05 Rational and birational maps
Keywords:
conformal maps