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Strong Carmichael numbers. (English) Zbl 0327.10011

Eine zusammengesetzte Zahl \(N\) heißt Pseudoprimzahl für die Basis \(a\), wenn \(a^{N-1}\equiv 1(N)\). Gilt dies für alle zu \(N\) teilerfremden \(a\), so heißt \(N\) universelle (absolute) Pseudoprimzahl oder auch Carmichael-Zahl, wie z.B. \(561 = 3\cdot 11\cdot 17\). Verf. nennt nun \(N\) eine starke (strong) Carmichael-Zahl, wenn für alle zu \(N\) teilerfremden \(a\) gilt
\[ a^{(N-1)/2} \equiv \left(\frac{a}{N}\right) \pmod N, \quad\text{(Jacobi-Symbol)},\]
und zeigt mit einem einfachen interessanten Beweis:
Es gibt keine starken Carmichael-Zahlen.

MSC:

11A51 Factorization; primality
11A07 Congruences; primitive roots; residue systems
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