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Valeurs propres d’opérateurs définis par la restriction de systèmes variationnels à des sous-espaces. (French) Zbl 0328.35029
On donne une formule asymptotique pour les valeurs propres de systèmes du type: \(Au = \lambda u+B^*p\), \(Bu = 0\) sur un ouvert \(\Omega\), avec des conditions aux limites sur \(\partial\Omega\); \(A\) et \(B\) sont des matrices d’opérateurs différentiels et \(B^*\) est l’adjoint de \(B\). Un exemple est le problème de Stokes:
\[ -\Delta\vec u= \lambda\vec u + \mathrm{grad}\, p,\quad \mathop{div}\vec u= 0,\quad \vec u\,|_{\partial\Omega}= 0. \] On établit une formule du type: \(\lambda_j\sim cj^\alpha\); l’exposant \(u\) est le même que celui qu’on obtient pour les valeurs propres du système elliptique \(Au = \lambda u\) avec des conditions aux limites; naturellement la constante \(c\), qui est explicitée, n’est pas la même.

MSC:
35P20 Asymptotic distributions of eigenvalues in context of PDEs
35J25 Boundary value problems for second-order elliptic equations
47A70 (Generalized) eigenfunction expansions of linear operators; rigged Hilbert spaces
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