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The Selberg trace formula for \(\mathrm{PSL}(2,\mathbb R)\). Vol. I. (English) Zbl 0347.10018
Lecture Notes in Mathematics. 548. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. iv, 516 p. DM 39.00; $ 16.00 (1976).
Trotz der großen Bedeutung, welche die Selbergsche Spurformel in der neueren mathematischen Forschung erlangt hat, gibt es kaum einführende ausführliche Darstellungen dieses Gebiets. Es ist das Ziel des Verf., diesem Übelstande abzuhelfen. Dabei beschränkt er sich auf den besonders übersichtlichen Fall einer Grenzkreisgruppe erster Art \(\Gamma\), die auf der oberen Halbebene \(H\) operiert. Der vorliegende erste Band der Darstellung diskutiert den Spezialfall einer Gruppe \(\Gamma\) mit kompaktem Quotienten \({}_\Gamma\backslash H\). In einem in Vorbereitung befindlichen zweiten Band (vgl. Zbl 0543.10020) sollen die Grenzkreisgruppen erster Art mit Spitzen behandelt werden.
Es sei also im folgenden \(\Gamma\) eine diskrete Untergruppe von \(\mathrm{PSL}(2,\mathbb R)\) mit kompaktem Quotienten \({}_\Gamma\backslash H\). Im kurzen Kap. I (38 S.) wird die Selbergsche Spurformel bewiesen für Kerne, die zu Punktpaarinvarianten gebildet sind (Gewicht 0, Charakter 1), und für Gruppen \(\Gamma\) ohne elliptische Elemente. Die notwendige Eigenwerttheorie des hyperbolischen Laplace Operators \(\Delta\) wird aus der Hilbertschen Integralgleichungstheorie hergeleitet. Beim Beweis der Spurformel beschränkt sich der Verf. zunächst auf spezielle Kerne, für welche die Rechnungen besonders einfach sind, und dehnt anschließend mit Hilfe eines naheliegenden Approximationsprozesses den Gültigkeitsbereich der Spurformel auf eine umfassendere Klasse von Funktionen aus.
Kapitel II ist das gewichtigste und längste (287 S.) Kapitel des Bandes. Es ist einer eingehenden Diskussion der Selbergschen Zetafunktion \(Z(s)\) gewidmet. Dabei verfolgt der Verf. das Ziel, an Hand nicht-trivialer Anwendungen der Selbergschen Spurformel ein tieferes Verständnis für die Bedeutung dieser Formel zu erwecken. Der in großen Teilen neue, reichhaltige Inhalt dieses zweiten Kapitels kann hier nur sehr pauschal angedeutet werden. Die formale Analogie der Spurformel zu den sog. expliziten Formeln der Primzahltheorie legt die Einführung der Selbergschen Zetafunktion \(Z(s)\) nahe. Diese Funktion spielt hier eine ähnliche Rolle wie die Riemannsche Zetafunktion in der analytischen Zahlentheorie. Mit Hilfe von \(Z(s)\) wird das asymptotische Verhalten verschiedener Anzahlfunktionen (Anzahl der Eigenwerte \(\lambda\) von \(-\Delta\), die \(\leq T\) sind; Anzahl der Konjugationsklassen \(\{P\}\) hyperbolischer Elemente von \(\Gamma\) mit Norm \(N\{P\}\leq T\); Anzahl der Konjugationsklassen \(\{P_0\}\) primitiver hyperbolischer Elemente von \(\Gamma\) mit Norm \(N\{P_0\}\leq T)\) für \(T\to\infty\) einer genauen Analyse unterzogen. Die Untersuchungen dieses Kapitels weisen starke Analogien zur analytischen Zahlentheorie auf, und der Verf. verwendet große Sorgfalt darauf, diese Analogien durch präzise einschlägige Literaturzitate zu belegen.
Im kurzen Kap. III (29 S.) wird die Spurformel für vektorwertige Funktionen \(u: H\to \mathbb C^r\) mit dem Transformationsverhalten \(u(Tz) = \chi(T)u(z)\) \((z\in H,\;T\in\Gamma)\) hergeleitet; dabei bezeichnet \(\chi\) eine feste \(r\)-dimensionale unitäre Darstellung von \(\Gamma\), Hier werden erstmals auch Gruppen \(\Gamma\) mit kompaktem Quotienten zugelassen, welche elliptische Elemente enthalten.
Kapitel IV (107 S.) enthält die Spurformel für automorphe Formen ganzzahligen Gewichtes \(m\geq 0\) zum Charakter \(\chi\). Die Spektraltheorie des hier zuständigen Differentialoperators
\[ \Delta_m = y^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right) - im\;y\frac{\partial}{\partial x} \] wird nicht dargestellt. Stattdessen zitiert der Verf. die benötigten Resultate aus den einschlägigen Arbeiten von W. Roelcke [Math. Ann. 167, 292–337 (1966) und 168, 261–324 (1967; Zbl 0152.07705)].
Als Beispiel einer wichtigen Anwendung der Spurformel bestimmt der Verf. die Dimension des Raumes \(A(\chi, m)\) der klassischen automorphen Formen zur Gruppe \(\Gamma\), zum ganzzahligen Gewicht \(m\geq 2\) und zum Charakter \(\chi\). Dabei dient die Selbergsche Spurformel als “Ersatz” für den Riemann-Rochschen Satz. In seinen Kommentaren äußert der Verf. die Erwartung, man könne wohl auch eine Spurformel für den Fall reellen Gewichtes und eines zugehörigen Multiplikatorsystems (anstelle des Charakters \(\chi)\) beweisen, und es sollte möglich sein, den Riemann-Rochschen Satz als Spezialfall aus einer solchen Spurformel herzuleiten. Diese Vermutungen wurden von S. J. Patterson [Compos. Math. 31, 83–107 (1975; Zbl 0321.30020)] bewiesen.
Kapitel V (38 S.) enthält die Spurformel für-Korrespondenzen (nach Eichler und Selberg).
Die Darstellung ist über weite Strecken hin sehr ausführlich gehalten mit detaillierten erklärenden Hinweisen, die dem Leser die Übersicht erleichtern. Das Buch enthält ein reichhaltiges Literaturverzeichnis, und im Text finden sich viele präzise Literaturhinweise. Es kann daher allen, die sich in den behandelten Themenkreis einarbeiten wollen, von Nutzen sein.
Sehr nützlich ist auch folgender Überblicksartikel des Verf. über den vorliegenden Problemkreis [D. A. Hejhal, The Selberg trace formula and the Riemann zeta function. Duke Math. J. 43, 441–482 (1976; Zbl 0346.10010)]. Dieser Artikel ist im wesentlichen ein ausführliches Referat des vorliegenden Bandes und gibt einen Ausblick auf den Inhalt von Band II (Zbl 0543.10020).

MSC:
11F72 Spectral theory; trace formulas (e.g., that of Selberg)
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11M36 Selberg zeta functions and regularized determinants; applications to spectral theory, Dirichlet series, Eisenstein series, etc. (explicit formulas)
30F10 Compact Riemann surfaces and uniformization
30-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to functions of a complex variable
30F35 Fuchsian groups and automorphic functions (aspects of compact Riemann surfaces and uniformization)
35P20 Asymptotic distributions of eigenvalues in context of PDEs
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