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Un contre-exemple à une conjecture de J. Martinet. (French) Zbl 0358.12006
Algebr. Number Fields, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975, 539-560 (1977).
Soient \(N/K\) une extension galoisienne de groupe de Galois \(G\), \(O_N\) son anneau d’entiers et \(M\) un ordre maximal de \(\mathbb Q[G]\) contenant \(\mathbb Z[G]\). Dans son article dans [J. Reine Angew. Math. 286–287, 380–440 (1976; Zbl 0385.12004)], A. Fröhlich démontre (théorème 11)) que pour toute extension galoisienne \(N/K\) modérément ramifiée le \(M\)-module \(MO_N\) est stablement libre sur \(M\). Lorsque \(K=q\), cela constitue la démonstration d’une conjecture de J. Martinet. Le but de cet article est de démontrer que cette conjecture n’est plus vraie, en general, si on enlève l’hypothèse de ramification modérée. On procède de la façon suivante: à l’anneau des entiers de chaque extension galoisienne non-abélienne \(N\) de degré \(pq\) du corps des rationnels on associe un ideal du \(q\)-ième corps cyclotomique isomorphe à un facteur simple de \(MO_N\); on montre que pour \(p=47\), \(q=23\) on peut choisir \(N\) de sorte que l’ideal en question ne soit pas principal.
[Cet article a paru dans le livre annoncé dans Zbl 0339.00010].
Reviewer: Jean Cougnard

MSC:
11R32 Galois theory
11R52 Quaternion and other division algebras: arithmetic, zeta functions