Weil representations associated to finite fields. (English) Zbl 0359.20008

Gerardin, Paul

J. Algebra 46, 54-101 (1977).

Soit \( k \) un corps fini, \( q \) son ordre. La représentation de permutation du groupe \( \mathrm{GL}(V) \) dans l’espace des fonctions complexes sur un espace vectoriel de dimension \( n \) sur \( k \) a pour caract‘ere: \( g \rightarrow q^{N(V;g)}\), \(N(V, g)= \dim \ker (g-1)\). Soit \( K \) une extension quadratique de \( \mathrm{k} \) nous construisons une représentation du groupe \( U(F, i) \) d’une forme antihermitienne non dégénérée \( i \) sur un espace vectoriel \( F \) de dimension \( n \) sur \( K \), dont le caractère est: \( u \rightarrow (-1)^{n}(-q)^{N(F; u)}, N(F;u)=\dim \ker(u-1) \).
Au signe \( (-1)^{n} \) près, c’est la formule précédente prise en \(-q\). Pour \(q\) impair, cette représentation s’obtient, à une représentation du groupe \(U(F, i) \) dans \(\pm 1\) prés, comme restriction de la représentation du groupe symplectique de la forme \( (x, y) \rightarrow i(x, y)-i(y, x) \) sur \( F \times F \), définie par \(v\). Cet article donne la décomposition de ces représentation en représentations irréductibles. Elles interviennent dans la construction de certaines représentation supercuspidales des groupes réductifs sur les corps \(p\)-adiques.
Editorial remark (2024): As pointed out by Loren Spice (see [J. Fintzen, Compos. Math. 157, No. 12, 2733–2746 (2021; Zbl 1495.22009)]), there is a typo in Theorem 2.4(b) where the character \(\chi^{V^+}\) is omitted in the induction, which led also to an error in the key steps in the proof of J.-K. Yu’s main result in [J. Am. Math. Soc. 14, No. 3, 579–622 (2001; Zbl 0971.22012)] (Section 14). Note that both papers have not been corrected for the time being. Fintzen proved Yu’s result in [1495.22009] by a different method.

Reviewer: Paul Gerardin

MSC:

20C15

Ordinary representations and characters

Citations:

Zbl 1495.22009; Zbl 0971.22012

References:

[1]	Borel, A., (Seminar on Algebraic Groups and Related Finite Groups. Seminar on Algebraic Groups and Related Finite Groups, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 131 (1970), Springer-Verlag: Springer-Verlag Berlin) · Zbl 0192.36201
[2]	Dickson, L. E., Linear Groups (1958), Dover: Dover New York · Zbl 0082.24901
[3]	Dieudonné, J., Les isomorphismes exceptionnels entre les groupes classiques finis, Canad. J. Math., 6, 305-315 (1954) · Zbl 0055.01904
[4]	Gérardin, P., Constructions de séries discrètes \(p\)-adiques, (Lecture Notes in Mathematics, Vol. 462 (1975), Springer-Verlag: Springer-Verlag Berlin) · Zbl 0302.22002
[5]	Gérardin, P., Three Weil representations associated to finite fields, Bull. Amer. Math. Soc., 89, 268-270 (1976) · Zbl 0342.20002
[6]	Howe, R., On the character of Weil’s representation, Trans. Amer. Math. Soc., 177, 287-298 (1973) · Zbl 0263.22014
[7]	Lehrer, G. I., Weil representations and cusp-forms on unitary groups, Bull. Amer. Math. Soc., 80, 1137-1141 (1974) · Zbl 0314.20012
[8]	Saito, M., Représentations unitaires des groupes symplectiques, J. Math. Soc. Japan, 24, 232-251 (1972) · Zbl 0232.22025
[9]	Serre, J. P., Corps locaux (1968), Hermann: Hermann Paris
[10]	Andrade, J. Soto, La Représentation de Weil de GSp(4, \(F}_q)\) et les représentations de Sp(4, \(F}_q)\), C. R. Acad. Sci. Paris, 278, 321-324 (1974) · Zbl 0277.20065
[11]	Tanaka, S., Constructions and classifications of irreducible representations of special linear groups of the second order over a finite field, Osaka J. Math., 4, 65-84 (1967) · Zbl 0245.20039
[12]	Weil, A., Sur certains groupes d’opérateurs unitaires, Acta Math., 111, 143-211 (1964) · Zbl 0203.03305