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A simple proof of the transformation formula for \(\log \eta(z)\). (Ein einfacher Beweis der Transformationsformel für \(\log \eta(z)\).) (German) Zbl 0368.10021

Es sei \(q=\exp(2\pi z)\), \(\text{Im}\,z>0\), \(\eta(z)=q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)\) die Dedekindsche Eta-Funktion und \(A=(a,b;c,d)\in \text{SL}(2,\mathbb Z)\). Die fragliche Formel besagt, daß \[ \log\eta\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)-\log\eta(z)-\frac12\log\left(\frac{cz+d}{i}\right)\tag{*} \] unanhängig von \(z\) und gleich einem Vielfachen von \(2\pi i/24\) ist. Für diese ganze Zahl fand Dedekind eine explizite Formel als Funktion von \((a,b,c,d)\) mittels sog. “Dedekindscher Summen”.
In der obigen Arbeit wird nun ein neuer Beweis dieser Formel gegeben: \(\log\eta(Az)-\log\eta(z)\) wird in eine Doppelreihe umgeformt, deren allgemeines Glied eine rationale Funktion der Summationsbuchstaben ist. Die Dedekindsche Formel erhält man dann aus dieser Darstellung durch eine gewisse Summationsvertauschung. Die durch diese Umordnung der bedingt konvergenten Doppelreihe bewirkte Wertänderung läßt sich mittels eines bekannten Satzes von Eisenstein bestimmen und führt in (*) gerade zu dem Term \(\frac12\log\left(\frac{cz+d}{i}\right)\).

MSC:

11F20 Dedekind eta function, Dedekind sums
11F11 Holomorphic modular forms of integral weight
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References:

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