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Some problems and results on the irrationality of the sum of infinite series. (English) Zbl 0372.10023
J. Math. Sci. 10, 1-7 (1975).
In dieser Arbeit wird untersucht, unter welchen Bedingungen Lückenreihen, die man aus der harmonischen Reihe gewinnt, irrationale Zahlen darstellen. Unter diesen Lückenreihen fallen z.B. die Werte von \(\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^s}\) mit \(s=2,3,4,\dots\): Während Euler diese Fragestellung im Falle gerader natürlicher Zahlen \(s\) im Prinzip bereits gelöst hat, erweist sich die Untersuchung für ungerade \(s\), etwa für \(s = 3\), als äußerst schwierig. Der Autor zeigt, daß man bei sehr großen Lücken zu Irrationalitätsbeweisen gelangen kann. Eine Folge \(m_1 < m_2 < \dots\) natürlicher Zahlen soll die Eigenschaft \(P\) besitzen, wenn für jede Menge S natürlicher Zahlen \(n_k\), \(k=1,2,3,\dots\), die der Relation \(n_k\equiv 0(\mod m_k)\) genügen, die Reihe \(\sum_{n\in s}\frac{1}{n}\) eine irrationale Zahl darstellt. Der Autor zeigt, daß die Folge \(2^{2^k}\) die Eigenschaft \(P\) besitzt. Er stellt das Problem, Folgen \(m_k\) mit der Eigenschaft \(P\) zu finden, für die \(\varlimsup m_k^{1/2^k} < \infty\) gilt und die Zahlen \(m_k\) paarweise relativ prim sind. Außerdem beweist der Autor die beiden folgenden Sätze: Besteht die unendliche Menge \(S\) aus natürlichen Zahlen \(n_1 < n_2 < \dots< n_k< \dots\), die \(\varlimsup n_k^{1/2^k} = \infty\) und für ein positives \(\varepsilon n_k> k^{1+\varepsilon}\) erfüllen, dann ist \(\alpha =\sum_{n\in s}\frac{1}{n}\) irrational. Gilt zusätzlich zu den obigen Bedingungen \(\overline{\lim} n_k^{1/t^k}=\infty\) für jede natürliche Zahl \(t\), dann ist \(\alpha\) sogar eine Liouvillesche Zahl.
Reviewer: R.J.Taschner

MSC:
11J81 Transcendence (general theory)
00A07 Problem books
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