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Kontravariante Formen auf induzierten Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren. (German) Zbl 0372.17003
Sei \(\mathfrak g\) eine halbeinfache komplexe Lie Algebra, \(\mathfrak b\subset\mathfrak g\) eine Unteralgebra, \(\mathfrak h\subset\mathfrak b\) eine Cartan-Unteralgebra und \(\mathfrak p\supset\mathfrak b\) eine parabolische Unteralgebra. Ausgehend von einer endlichdimensionalen Darstellung von \(\mathfrak p\) erhält man durch Induzieren einen \(\mathfrak g\)-Modul \(M'(\lambda)\), welcher durch sein höchstes Gewicht \(\lambda\) bestimmt ist. (Diese Konstruktionen lassen sich auch über einem beliebigen Grundring \(A\) durchführen; Bezeichnung: \(M'(\lambda)_A.)\) \(M'(\lambda)\) besitzt eine endliche Kompositionsreihe; im Falle \(\mathfrak p = \mathfrak b\) sind die auftretenden Kompositionsfaktoren durch Bernstein-Gel’fand-Gel’fand bestimmt worden, doch ist im allgemeinen sehr wenig darüber bekannt.
Ein Resultat in diese Richtung ist der Satz 1 der obigen Arbeit. Auf \(M'(\lambda)_A\) gibt es eine symmetrische Bilinearform, die kontravariante Form, für die verschiedene Gewichtsräume orthogonal sind und deren Radikal im Falle eines Grundkörpers gerade der größte echte Untermodul ist. Wählen wir als Grundring \(A\) einen diskreten Bewertungsring mit Restklassenkörper \(k\), so gibt der Satz 1 einen Zusammenhang zwischen den \(p\)-adischen Bewertungen der Determinanten dieser Formen auf den einzelnen Gewichtsräumen und dem Dekompositionsverhalten von \(M'(\lambda)_k\). Insbesondere ist \(M'(\lambda)_k\) genau dann irreduzibel, wenn alle diese Determinanten Einheiten in \(A\) sind. (Dieser Satz hat auch interessante Anwendungen auf die Darstellungstheorie halbeinfacher algebraischer Gruppen in Charakteristik \(p>0.)\)
Im dritten Abschnitt werden nun diese Determinanten berechnet (Satz 2); für \(\mathfrak p = \mathfrak b\) wurde die angegebene Formel (bis auf einen konstanten Faktor) schon von Shapovalov bewiesen. Zusammen mit Satz 1 erhält man ein Irreduzibilitätskriterium für die \(M'(\lambda)\) (Satz 3), welches für reguläre dominante Gewichte (Korollar 4) und für den Typ \(A_n\) (Satz 4) noch verbessert wird. Eine Reihe von Beispielen und Bemerkungen illustrieren die Wirksamkeit der entwickelten Methoden.

MSC:
17B10 Representations of Lie algebras and Lie superalgebras, algebraic theory (weights)
17B20 Simple, semisimple, reductive (super)algebras
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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Bern?ttein, I. N., Gel’fand, I. M., Gel’fand, S. I.: Structure of representations generated by vectors of highest weight. Functional Analysis Appl.5, 1-9 (1971) · Zbl 0246.17008 · doi:10.1007/BF01075841
[2] Borho, W.: Berechnung der Gelfand-Kirillov-Dimension bei induzierten Darstellungen. Math. Ann.225, 177-194 (1977) · Zbl 0346.17012 · doi:10.1007/BF01351722
[3] Bourbaki, N.: Groupes et algèbres de Lie, Chap. IV, V et VI. Paris: Hermann 1968 · Zbl 0186.33001
[4] Dixmier, J.: Algèbres enveloppantes. Paris: Gauthier-Villars 1974 · Zbl 0308.17007
[5] Jantzen, J.C.: Darstellungen halbeinfacher algebraischer Gruppen und zugeordnete kontravariante Formen. Bonner math. Schriften67 (1973) · Zbl 0288.17004
[6] Jantzen, J. C.: Zur Charakterformel gewisser Darstellungen halbeinfacher Gruppen und Lie-Algebren. Math. Z.140, 127-149 (1974) · Zbl 0288.20059 · doi:10.1007/BF01213951
[7] Jantzen, J.C.: Darstellungen halbeinfacher Gruppen und kontravariante Formen. J. reine angew. Math. (erscheint demnächst) · Zbl 0342.20022
[8] ?apovalov, N. N.: On a bilinear form on the universal enveloping algebra of a complex semi-simple Lie algebra. Functional Analysis Appl.6, 307-312 (1972) · Zbl 0283.17001 · doi:10.1007/BF01077650
[9] Conze-Berline, N., Duflo, M.: Sur les représentations induites des groupes semi-simples complexes. · Zbl 0389.22016
[10] Wallach, N.: On the Enright-Varadarajan modules. Ann. sciént. Éc. Norm. Sup., 4e série,9, 81-102 (1976)
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