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Number fields. (English) Zbl 0383.12001
Universitext. New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag. viii, 279 p. DM 26.10; $ 12.00 (1977).
Zu den zahlreichen Büchern über algebraische Zahlentheorie, die in den letzten Jahren erschienen sind, gesellt sich seit 1977 eine originelle, ja eigenwillige Einführung in die Theorie der algebraischen Zahlkörper: Daniel Marcus’ “Number Fields”.
Der Autor motiviert zunächst die Notwendigkeit, den rationalen Zahlkörper \(\mathbb Q\) zu erweitern und algebraische Zahlkörper einzuführen, anhand der Fermatschen Gleichung \(x^n + y^n =z^n\). Der Versuch, alle Lösungen in den ganzen rationalen Zahlen \(\mathbb Z\) zu bestimmen, bzw. die Unlösbarkeit in \(\mathbb Z\) zu beweisen, führt im Falle \(n=2\) auf den Gaußschen Zahlkörper \(\mathbb Q(i)\) und im Falle einer ungeraden Primzahl \(n=p\) auf den \(p\)-ten Kreisteilungskörper \(\mathbb Q(\omega)\). Dabei treten sofort die später eingeführten Begriffe Primelement, Einheit, Klassenzahl und das Problem der eindeutigen Primelementzerlegung bzw. Primidealzerlegung in diesen Zahlkörpern auf.
Schon in Kapitel 1 des Buches befindet man sich also schlagartig mitten in der algebraischen Zahlentheorie. Quadratische Zahlkörper und Kreisteilungskörper werden dann in den weiteren Kapiteln ständig als Beispielmaterial zur Illustration der betrachteten allgemeinen Sachverhalte herangezogen.
In Kapitel 2 definiert der Autor algebraische Zahlkörper \(K\) als über \(\mathbb Q\) endliche Teilkörper des komplexen Körpers \(\mathbb C\), führt dann den Integritätsbereich \(\mathbb A\)aller ganzen algebraischen Zahlen von \(\mathbb C\) ein und erhält die Hauptordnung \(R\) von \(K\) als den Durchschnitt \(\mathbb A\cap K\). Für \(R\) benutzt er dabei den aus der älteren deutschen Literatur geläufigen Begriff ,,Zahlring”. Hier wird auch der Begriff der Ganzheitsbasis eingeführt und die Existenz einer speziellen Ganzheitsbasis für \(K/\mathbb Q\) bewiesen (Theorem 13, Seite 36).
Kapitel 3 ist dem Problem der Primidealfaktorisierung in Erweiterungen algebraischer Zahlkörper gewidmet. Dabei werden die bekannten Zerlegungsgesetze einschließlich des Kummer-Kriteriums (Theorem 27, Seite 79) bewiesen.
Zerlegungsgesetze in Galoisschen Zahlkörpererweiterungen bringt Kapitel 4. Es wird die Hilbertsche Theorie des Zerlegungskörpers und des Trägheitskörpers behandelt. Als Anwendung ergibt sich ein Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes für das Legendre-Symbol.
Die Endlichkeit der Klassenzahlen und der Dirichletsche Einheitensatz sind Gegenstand von Kapitel 5.
In Kapitel 6 wird die approximative Gleichverteilung der Ideale eines Zahlkörpers über die Idealklassen bewiesen (Theoreme 39, 40 auf den Seiten 158, 174), und dies führt in Kapitel 7 mittels der Dedekindschen Zetafunktion und der Dirichletschen \(L\)-Reihen zur Klassenzahlformel (Theoreme 44, 45 auf den Seiten 196 und Theorem 46 auf Seite 201).
Schließlich dienen die Untersuchung der Verteilung von Primidealen algebraischer Zahlkörper und die Betrachtung von Dichtigkeitsfragen in Kapitel 8 der Motivation und Einführung der Klassenkörpertheorie, aus der einige Grundtatsachen ohne Beweis angegeben werden (Facts 1,2,3 auf den Seiten 233, 234, 238).
In drei Anhängen gibt der Autor kurze Abrisse der benötigten kommutativen Algebra, Galoistheorie und der Theorie der endlichen Körper und fügt im vierten Anhang eine Liste der Primzahlen von 2 bis 6619 an. Jedes Kapitel ist ergänzt durch umfangreiche, zum Teil theoretische und zum Teil numerische Übungen mit teilweise ausführlichen Anleitungen.
Es ist nun charakteristisch für das Buch, daß die Übungen integraler Bestandteil des Textes sind. Wichtige Teile des behandelten Stoffes werden in die Übungen gesteckt. Wir erwähnen z.B. Stickelberger’s Diskriminantenkongruenz \(d\equiv 0\) oder \(1 \bmod 4\) (Exercise 22, Seite 43), die Multiplikativität der Verzweigungsordnung und des Restklassengrades (Exercise 10, Seite 83), gebrochene Ideale (Exercise 31, Seite 91), die Differente (Exercises 33 ff., Seiten 92 ff.), das Jacobi-Symbol (Exercise 4, Seite 114), die Hilbertsche Theorie der Verzweigungsgruppen (Exercises 18 ff., Seiten 121 ff.), der Satz von Kronecker-Weber (Exercises 29 ff., Seiten 125 ff.), ein Teil des Heegner-Starkschen Satzes über die imaginär-quadratischen Zahlkörper mit der Klassenzahl Eins (Exercises 9, 10, Seite 148), die Strahlklassengruppen (Exercise 10, Seite 178), die Dirichlet-Dichte (Exercise 7, Seite 205) und Tschebotareff’s Dichtigkeitssatz (Exercise 12, Seite 208).
Darüber hinaus werden noch viele Beweise im laufenden Text teilweise in die Übungen gesteckt oder dem Leser überlassen. Nimmt man hinzu, daß der Schwierigkeitsgrad des Buches von Kapitel zu Kapitel schrittweise anwächst, so kann man sich vorstellen, wie mühevoll die Lektüre insbesondere für den unerfahrenen Studenten, an den es sich u.a. auch wendet, sein muß. Vermutlich wird er nach wenigen Kapiteln entnervt aufgeben, zumal es auch technisch sehr schwierig ist, die zum Text gehörigen Übungen im Buch aufzufinden, weil Seitenangaben fehlen. Der erfahrenere Student hingegen wird sich wohl unter Benutzung von Zusatzliteratur bis zum Ende des Buches durcharbeiten können und die knappe Darstellung ihrer Übersichtlichkeit wegen begrüßen, zumal sie ihn recht weit in die algebraische Zahlentheorie hineinführt. Dabei ist die vom Autor getroffene Stoffauswahl originell und zeichnet das Buch vor anderen Zahlentheoriebüchern aus. Auch wird jeder Leser die Fülle des Beispielmaterials im Text und in den Übungen als sehr anregend und erleuchtend empfinden. Nicht zuletzt muß die Klarheit und Sorgfalt der Darstellung hervorgehoben werden sowie die Tatsache, daß so gut wie keine Druckfehler zu verzeichnen sind.
Ein Wort noch zur Auffassung der algebraischen Zahlkörper als Teilkörper von \(\mathbb C\). Der Autor hat sich dazu entschlossen, um den Text abzukürzen und übersichtlicher zu gestalten, indem er die lokalen Methoden vermeidet. Dies ist aber vom divisorentheoretischen Standpunkt aus gesehen, wie ihn Hasse nach dem Vorgang von Hensel in die Zahlentheorie eingebracht hat, ein unorganischer Ansatz. Denn nach Hasse sind die \(p\)-adischen Zahlkörper als dem reellen Körper \(\mathbb R\) und dem komplexen Körper \(\mathbb C\) voll gleichberechtigte Bereiche anzusehen, sind also der Einbettung eines algebraischen Zahlkörpers in \(\mathbb C\) seine Einbettungen in die \(p\)-adischen Komplettierungen als gleichberechtigt zur Seite zu stellen. Dieser Aspekt der algebraischen Zahlentheorie wird durch das Buch verschüttet.
Insgesamt gesehen wird sich das Buch aufgrund seiner geschilderten Vorzüge sicher einen festen Platz in der umfangreichen Literatur über algebraische Zahlkörper erobern können. Abschließend sei eine Frage gestellt: Wann schreibt einmal jemand ein neues Buch über algebraische Funktionenkörper?
Reviewer: Horst G. Zimmer

MSC:
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
11R21 Other number fields
11R04 Algebraic numbers; rings of algebraic integers
11R23 Iwasawa theory
11R27 Units and factorization
11R37 Class field theory
11R42 Zeta functions and \(L\)-functions of number fields