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Cyclotomic fields. (English) Zbl 0395.12005
Graduate Texts in Mathematics. 59. New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag. xi, 253 pp. DM 38.00; $ 19.00 (1978).
Cet ouvrage est consacré à l’arithmétique des “corps cyclotomiques”, dans le prolongement logique des travaux de Kummer sur les corps \(\mathbb Q(\mu_{p^n})\) (des racines \(p^n\)-ième de l’unité) en rapport avec le théorème de Fermat (en réalité, comme nous allons le préciser, l’ouvrage déborde largement ce cadre, sans toutefois englober une théorie des corps abéliens). Une des motivations de l’auteur semble, en effet, avoir été ce qu’il appelle lui-même “la conjecture de Vandiver” \((p\) ne divise pas le nombre de classes réelles de \(\mathbb Q(\mu_p))\): “…The terminology “Vandiver’s conjecture” seemed appropriate to me. In any case I believe it. (…) Proving the Vandiver conjecture (…) is therefore one of the major problems of algebraic number theory today”. Il en résulte que, lorsqu’il aborde la question des \(p\)-classes d’idéaux, l’auteur privilégie les résultats de structure découlant de l’hypothèse de Vandiver (essentiellement des résultats de Galois-monogénéité de ces \(p\)-groupes de classes); cet aspect de l’ouvrage montre que l’auteur n’a pas en vue l’arithmétique abélienne générale pour laquelle les problèmes majeurs actuels semblent plutôt constitués par la “non cyclicité” des groupes de classes.
Ceci étant dit, on retiendra que l’auteur traite de façon remarquable (et générale), et avec les apports techniques les plus récents: (i) la théorie des fonctions \(L\) \(p\)-adiques abéliennes, (ii) la théorie d’Iwasawa et ses applications à une “cyclotomic theory”, (iii) enfin les lois explicites de réciprocité. De façon précise:
Chapitre 1: Sommes des Gauß et de Jacobi, théorème de Stickelberger, et théorèmes d ’annulation, par les nombres de Bernoulli, des \(\chi\)-composantes des \(p\)-groupes de classes imaginaires.
Chapitre 2: Exposé des propriétés des mesures de Bernoulli, étude des idéaux de Stickelberger, étude plus générale de la notion de distribution, assortie de nombreux exemples. Des calculs d’indices d’idéaux de Stickelberger généralisent un résultat d’Iwasawa.
Chapitre 3: Formule analytique du nombre de classes \(h\) (non redémontrée), décomposition de \(h\) sous la forme \(h^+h^-\) et leurs expressions classiques [suit à peu près l’exposé de H. Hasse, “Über die Klassenzahl Abelscher Zahlkörper.” Berlin: Akademie-Verlag (1952; Zbl 0046.26003) et celui de Z. I. Borevich et I. R. Shafarevich, “Number theory.” Moscow: Nauka (1964; Zbl 0121.04202); German translation Basel 1966]; s’achève par une majoration de \(h^-\) pour les corps \(\mathbb Q(\mu_p)\).
Chapitre 4: Exposé général de la théorie des fonctions \(L\) \(p\)-adiques abéliennes, vues d’après Mazur comme transformées de Mellin d’une mesure convenable. L’auteur introduit l’isomorphisme d’Iwasawa (entre mesures et séries formelles de l’algèbre d’Iwasawa); il explicite la formule analytique \(p\)-adique du nombre de classes de Leopoldt ainsi que le calcul de \(L_p(1,\chi)\).
Chapitre 5: Excellent exposé de la théorie d’Iwasawa, qui reprend des points de vue développés par Serre; les bases algébriques sont données en détail, (structure des modules de type fini sur l’algèbre d’Iwasawa \(\Lambda = \mathbb Z_p[[X]] )\). Étude des \(p\)-classes d’idéaux dans une \(\mathbb Z_p\)-extension. L’auteur introduit ensuite la théorie de Galois et du corps de classes infinies pour l’étude du groupe de Galois de la \(p\)-extension \(p\)-ramifiée maximale d’un corps de nombres \((\Lambda\)-structure, existence des \(\mathbb Z_p\)-extensions).
Chapitre 6 est relatif au cas particulier de la \(\mathbb Z_p\)-extension cyclotomique d’un corps. Étude du \(p\)-groupe des classes de \(\cup \mathbb Q(\mu_{p^n})\): \(C = \varprojlim C_n\), \(C_n\) \(p\)-groupe des classes de \(\mathbb Q(\mu_{p^n})\). La technique consiste en un passage à la limite projective des méthodes du “Spiegelungssatz” de H.-W. Leopoldt [J. Reine Angew. Math. 199, 165–174 (1958; Zbl 0082.25402)], qui donne, sous l’hypothèse de Vandiver, la \(\Lambda\)-cyclicité de \(C\). Chapitre 7: Étude (pour l’extension cyclotomique fondamentale locale) de la limite projective \(U\) des groupes des unités locales; l’exposé suit la récente généralisation du travail de Kummer, par Coates et Wiles; soit \(V\) l’image dans \(U\) des unités cyclotomiques, l’auteur donne la structure de \(U/V\) (sous la forme \(U(\chi)/V(\chi)\cong \Lambda/g_\chi \Lambda\), où \(g_\chi\) est la série d’Iwasawa attachée à \(L_p(s,\chi)\), \(\chi\) caractère de \(\mathbb Q(\mu_p))\).
Chapitres 8 et 9: Théorie des groupes formels de Lubin-Tate, et détermination des lois explicites de réciprocité (d’après un travail de Coates et Wiles). Ici aussi la théorie exposée est très complète et offre une synthèse appréciable d’un grand nombre d’articles publiés sur le sujet. La bibliographie, sans oublier les articles fondamentaux, met en évidence les articles significatifs les plus récents dont l’auteur a pu avoir connaissance (une référence sur six est “à paraître”).
Ce livre bénéficie de l’importante culture de son auteur; de ce fait il renouvelle beaucoup le style de cet aspect de l’arithmétique (grace, entre autre, à un choix judicieux des définitions et du vocabulaire). Par son originalité, il devrait donc s’avérer très utile à beaucoup de théoriciens des nombres.

MSC:
11R18 Cyclotomic extensions
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11R23 Iwasawa theory
11R27 Units and factorization
11R29 Class numbers, class groups, discriminants
11S31 Class field theory; \(p\)-adic formal groups
14L05 Formal groups, \(p\)-divisible groups
11S40 Zeta functions and \(L\)-functions
11L03 Trigonometric and exponential sums, general