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On elimination in certain systems of equations. (Ueber Elimination aus einem gewissen System von Gleichungen.) (German) JFM 04.0052.02

Hat man vier Gleichungen \(m=0\), \(n=0\), \(p=0\), \(q=0\), welche in den vier Unbekannten \(x_1,x_2,x_3,x_4\) bezw. zu dem Grad \(m_1,m_2,m_3,m_4\); \(n_1, n_2\), etc. ansteigen, so ist der Grad der Eliminationsgleichung, unter Voraussetzung allgemeiner Coefficienten in den Gleichungen, für jede der 4 Variabeln derselbe, und zwar gleich \(\Sigma+m_1n_2p_3q_4\), wo \(\Sigma+\) eine Summe von \(4!\) Gliedern bedeutet, welche aus der Determinante \(\Sigma\pm\) dadurch hervorgeht, dass man allen Gliedern positives Vorzeichen giebt. Dieser Ausdruck lässt sich nach den aus 1, 2, 3 Reihen gebildeten (und dann nur von einer, zweien,dreien der Gleichungen abhängenden) Partialdeterminanten (in uneigentlichem Sinn) anordnen. Es bedeutet dann z. B. \(\Sigma+m_in_k\) den Grad in Bezug auf \(x_k\) (bezw. \(x_i\)) der durch Elimination von \(x_i[x_k]\) aus den beiden ersten Gleichungen entstandenen Gleichung. Kennt man also die 6 den beiden ersten Gleichungen entsprechenden Gradzahlen \(\Sigma+m_in_k\), so kann man den Grad der Resultante bilden, ohne die \(m_i\cdots q_i\) einzeln zu kennen.
Diese Bemerkung kann man mit Vortheil verwenden, wenn es sich um die Anzahl der gemeinsamen Lösungen zweier Gleichungssysteme handelt, deren jedes zweien Gleichungen äquivalent ist. Jedem der zwei Systeme entsprechen 6 Zahlen der obigen Art, aus denen sich die Zahl der Beiden genügenden Lösungen zusammensetzt. Es ist dies insbesondere für den Fall wichtig, dass die Systeme die Variabeln symmetrisch enthalten, wo denn je die 6 Zahlen unter einander gleich sind. Dieser Fall tritt z. B. ein, wenn es sich um die Bestimmung der Werthsysteme \(x_1,x_2,x_3,x_4\) handelt, welche alle Determinanten des aus 4 Horizontal- und 7 Verticalreihen bestehenden rechteckigen Systems: \[ S=\| \varphi_i(x_k)\|\quad i=1,2,\cdots7;\quad k=1,2,\cdots 4; \] (wo die \(\varphi\) ganze Functionen \(m^{\text{ten}}\) Grades je der eingeklammerten Variabeln sind) gleichzeitig zum Verschwinden bringen. – Geometrisch kann man diese Aufgabe so deuten: Mann soll drei Punkte einer Geraden so bestimmten, dass alle einer 6-fach unendlichen Schaar von Curven \(m^{\text{ter}}\) Ordnung angehörigen Curven, welche durch dieselben gehen, sich noch in einem weiteren Punkte der Geraden schneiden.
Man führt ohne Mühe diese Aufgaben zurück auf die folgenden vier einfacheren:
1. Die Anzahl der Werthsysteme zu bestimmen, welche irgend 4 viergliedrige Determinanten des Systems \(S\) zum Verschwinden bringen (wobei hier wie im Folgenden die Uebereinstimmung gewisser Reihen in den verschiedenen Determinanten nicht berücksichtigt wird). Indem man die Formel \(\Sigma+m_1n_2p_3q_4\) anwendet, erhält man (unter Ausschluss der Lösungen, in welchen 2 Variable leiche Werthe haben): \(24(m-3)^4\).
2) Die Anzahl der Werthsysteme zu bestimmen, welche irgend 2 viergliedrige Determinanten und die dreigliedrigen Determinanten eines aus irgend 3 Verticalreihen von \(S\) gebildeten Systems (welches 2 Gleichungen äquivalent ist) zum Verschwinden bringen. Man bildet die den Ausdrücken \(\Sigma+m_in_k\) und \(\Sigma+p_iq_k\) entsprechende Werthe und erhält: \(12(m-2)(m-3)^3\).
3) Die Anzahl der Werthsysteme, welche eine viergliedrige Determinante und das aus 2 Verticalreihen gebildete System von zweigliedrigen Determinanten zum Verschwinden bringen, zu bestimmen. Man multiplicire die 4 Zahlen \(\Sigma+m_1n_2p_3\) u.s.w. bezw. mit \(q_1,\cdots q_4\) und erhält als Summe: \(4(m-1)(m-2)(m-3)^2\).
4) Die Anzahl der Werthsysteme, welche alle Elemente einer Verticalreihe auf Null reduciren, ist: \(m(m-1)(m-2)(m-3)\).
Dieses Beispiel lässt das Verfahren, welches der Verfasser zur Lösung der analogen Aufgaben für \(n\) Variable eingeschlagen hat, zur Genüge erkennen. Derselbe findet, dass für ein System \(S\) von \((k+i)\) Vertical- und \(k\) Horizontalreihen \((i<k<m)\) die Zahl der Werthsysteme, die alle \(k\)-gliedrigen Determinanten zum Verschwinden bringen, gleich \({m-k+1\choose i+1}\) ist (\(k-i-1\) von den \(k\) Unbekannten als fest angenommen vorausgesetzt.).

MSC:

12E05 Polynomials in general fields (irreducibility, etc.)
12E12 Equations in general fields
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