On the canonical form for quadratic congruences and the number of theri solutions. (Sur la forme canonique des congruences du second degré et le nombre de leurs solutions.) (French) JFM 04.0081.02

Jordan, C.

Liouville J. (2) XVII, 368 (1872).

Die Methode der Untersuchung von \(\Phi=a_1x_1^2+\cdots +a_mx_m^2+b_{12}x_1x_2+\cdots\equiv c(\text{mod.}M)\) ist die, jene Congruenz zuerst in Bezug auf Primzahl-Potenzen als Moduln zu betrachten und sie dann auf einfachere Formen zurückzuführen. (Traité des Substitutions 197-200 u. 259-260). Ist der Primzahlmodul ungrade, so erhält man als canonische Form \[ \Phi=P^\alpha(\theta X_1^2+X_2^2+\cdots +X_p^2)+P^\beta(\theta'Y_1^2+Y_2^2+\cdots +Y_q^2)+\cdots \equiv c(\text{mod.}P^\lambda), \] wobei die Producte der Variablen verschwunden sind, und die \(\theta\) entweder \(=1\) oder gleich einem beliebigen quadratischen Nichtreste von \(P\) sind. Für \(P=2\) liegen die Verhältnisse nicht so einfach.

Reviewer: Netto, Dr. (Berlin)

MSC:

11T99	Finite fields and commutative rings (number-theoretic aspects)
11D79	Congruences in many variables
11E04	Quadratic forms over general fields

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Zahlentheorie. Capitel 2. Theorie der Formen und Kettenbrüche.

Keywords:

congruential theory of forms; quadratic congruences; finite fields