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On distinct circular permutations. (Sur les permutations circulaires distinctes.) (French) JFM 04.0086.01

Nouv. Ann. (2) XI. 309-314 (1872).
Die Anzahl der circulären Permutationen, d. h. der nach Verwerfung der cyklischen Verschiebungen übrigbleibenden, von \(S\) Elementen ist im allgemeinen gleich der Anzahl aller Permutationen dividirt durch \(S\). Eine Ausnahme tritt nur ein, wenn einzelne Permutationen in congruente Gruppe zerfallen, die bei cyklischer Verschiebung mehrmals zur Deckung gelangen; dies findet statt, wenn alle Anzahlen gleicher Elemente einen gemeinsamen Factor haben. Zur allgemeinen Lösung wendet der Verfasser die Coefficienten der Taylor’schen Reihenentwickelung einer Function mehrerer Variabeln an und gelangt zu folgendem Ausdruck: \[ P_s^c=\frac{1}{S}\sum \varphi(\delta)\frac{P_s^r}{\delta}. \] Hier ist \(\delta\) ein beliebiger Divisor des grössten gemeinsamen Factors \(d\) aller Anzahlen gleicher Elemente, der in Primfactoren zerlegt lautet: \[ \delta=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}. \] Die Summe erstreckt sich über alle möglichen Werthe von \(\delta\). Ferner ist \[ \varphi(\delta)=\delta\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{p_n}\right) \] und drückt aus, wie viele relative Primzahlen zu \(\delta\) kleiner als \(\delta\) es giebt. Endlich bezeichnet der Ausdruck \[ \frac{P_s^r}{\delta}=\frac{(\frac{S}{\delta})!}{(\frac{A}{\delta})!(\frac{B} {\delta})!\cdots(\frac{L}{\delta})!}, \] wo \(A, B,\dots L\) die Anzahlen gleicher Elemente bedeuten, die Anzahl der geradlinigen Permutationen von \(\frac{S}{\delta}\) Elemente, und \(P_s^c\) die gesuchte Anzahl der circulären Permutationen aller Elemente.

MSC:

05A05 Permutations, words, matrices
05A15 Exact enumeration problems, generating functions
Full Text: EuDML