On Euler’s formula by which convergent series are made more rapidly convergent. (Ueber Euler’s Formel, nach welcher convergente Reihen in rascher convergirende umgewandelt werden.) (Czech) JFM 04.0104.01

Studnička, F. J.

Casopis I, 33-34 (1872); (Böhmisch).

Hat man die Reihe \[ s=u_1-u_2+u_3-\cdots, \] wobei \(u_1>u_2>u_3\cdots\), zu transformiren, so bilde man zunächst \[ 2s=u_1+(u_1-u_2)-(u_2-u_3)+(u_3-u_4)-\cdots \] und führe die Bezeichnung \[ \varDelta^{m+1}u_k=\varDelta^mu_k-\varDelta^mu_{k+1} \] ein. Man erhält hierduch \[ 2s=u_1+\varDelta u_1-\varDelta u_2+\cdots =u_1+\varDelta(u_1-u_2+u_3-\cdots) \] oder \[ 2s=u_1+\varDelta s. \] Unter entsprechender Benutzung des Operationssymbols \(\varDelta\) folgt dann hieraus \[ s=\frac{u_1}{2-\varDelta}, \] und wenn die angezeigte Division ausgeführt und die Bedeutung des Symbols \(\varDelta\) restituirt wird, die bekannte Euler’sche Formel \[ s=\sum_{k=0}^\infty \frac{\varDelta^k u_1}{2^{k+1}}. \]

Reviewer: Weyr, Prof. (Prag)

MSC:

65B15

Euler-Maclaurin formula in numerical analysis

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Reihen. Capitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Euler summation formula