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On the integration of rational fractions. (Sur l’intégration des fractions rationnelles.) (French) JFM 04.0125.05
Von dem Integrale einer rationalen gebrochenen Function \(\frac {F_1(x)}{F(x)}\) kann man den algebraischen Theil erhalten, ohne die Gleichung \(F(x)=0\) in ihre Wurzeln auflösen.
Man bringe \(F(x)\) auf die Form: \[ F(x)=A^{\alpha+1}\cdot B^{\beta+1}\dots L^{\lambda+1}, \] so dass die Gleichung \(A\cdot B\dots L=0\) nur einfache Wurzeln hat, so wird \[ \frac {F_1(x)}{F(x)}=\frac {P}{A^{\alpha+1}}+\frac {Q}{B^{\beta+1}}+\cdots +\frac {S}{L^{\lambda+1}}, \] wo \(P,Q,\cdots S\) ganze Functionen sind. Genügen nun die Polynome \(G\) und \(H\) der Gleichung \[ AG-A'H=s\left(A'=\frac {\partial A}{\partial x}\right), \] so werden zwei Reihen von Polynomen: \[ \nu_0 \nu_1\dots \nu_{\alpha-1}, P_1 P_2\dots P_\alpha \] durch die recurrenten Gleichungen \[ \begin{aligned} (\alpha-i)\nu_i& =HP_i-AQ_i\\ P_{i+1}& =GP_i-A'Q_i-\nu_i'\end{aligned} \qquad i=0,1,2\dots \alpha-1 \] bestimmt, worin die Polynome \(Q_0,Q_1,Q_2\cdots\) ganz willkürlich sind. Damit folgt durch Elimination von \(G\) und \(H\) \[ P_i-AP_{i+1}=A\nu_i'-(\alpha-i)A'\nu_i=A^{\alpha-i+1}\left(\frac {\nu_i}{A^{\alpha-i}}\right), \]
\[ \frac {P_i}{A^{\alpha-i+1}}=\frac {P_{i+1}}{A^{a-1}}+\left(\frac {\nu_i}{A^{a-i}}\right)' \] und durch Summirung von \(i=0\) bis \(i=\alpha-1\): \[ \frac {P}{A^{\alpha+1}}=\frac {P_\alpha}{A}+\left(\frac {\nu}{A^\alpha}\right), \] wo \[ \nu=\nu_0+A\nu_1+A^2\nu_2+\cdots +A^{\alpha-1}\nu_{\alpha-1} \] ist, so dass \(\frac {\nu}{A^\alpha}\) der algebraische Theil des Integrals \[ \int \frac {P}{A^{\alpha-1}}\,dx \] ist.
Bei der Berechnung des Integrals \[ \int \frac{dx}{(x^2+1)^{\alpha+1}} \] nach der beschriebenen Methode werden die willkürlichen \(Q\) sämmtlich gleich Null gesetzt.

MSC:
26A24 Differentiation (real functions of one variable): general theory, generalized derivatives, mean value theorems
26A42 Integrals of Riemann, Stieltjes and Lebesgue type
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Full Text: Numdam EuDML