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On the integration of a system of total simultaneous differential equations of first order. (Sur l’intégration d’un système d’équations différentielles totales simultanées du premier ordre.) (French) JFM 04.0145.02
Es wird gezeigt, dass die Methode von Briot und Bouquet für den Beweis der Existenz von synektischen Integralen eines Systems von simultanen gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung auch für den Fall eines Systems von totalen Differentialgleichungen anwendbar ist. Vom Verfasser wird, nachdem in den ersten beiden Abschnitten der Fall einer einzigen Gleichung erst mit zweien, dann mit beliebig vielen unabhängigen Variablen behandelt ist, der Fall des Systems: \[ (1.)\quad \begin{matrix} \l\\ \\ du_1 = P_1 dz_1+P_2 dz_2+\cdots +P_n dz_n\\ \\ du_2 = Q_1dz_1+Q_2dz_2+\cdots +Q_ndz_n\\ \\ \hdotsfor1 \\ \\ du_m = S_1dz_1+S_2dz_2+\cdots +S_ndz_n\end{matrix} \] betrachtet, unter der Voraussetzung, dass die Functionen \(P, Q,\cdots S\) für die Werthe von \(z_1\cdots z_n\), \(u_1\cdots u_m\) innerhalb der bezüglichen Bereiche \(r_1\cdots r_n\), \(\varrho_1\cdots \varrho_m\) synektisch und die Bedingungen der Integrabilität erfüllt sind. Es seine \(A_1\cdots A_n\) die Maximalwerthe der Moduln von \(P_1\cdots P_n\), \(B_1\cdots B_n\) die von \(Q_1\cdots Q_n\) u. s. f. innerhalb der bezeichneten Bereiche, und \(\frac{\mu_1}{r_1}>A_1\cdots \frac {\mu_1}{r_n}>A_n\), \(\frac {\mu_2}{r_1}>B_1\cdots \frac{\mu_2}{r_n}>B_n\) u. s. f. Bildet man dann dem Gleichungssystem (1) gemäss für \(u_1\cdots u_m\) Reihen, welche nach ganzen Potenzen von \(z_1\cdots z_n\) fortschreiten und mit den letzteren Variablen gleichzeitig verschwinden, so erkennt man leicht, dass die Coefficienten der Glieder in den einzelnen Reihen kleiner Moduln haben, als die positiven Coefficienten der entsprechenden Glieder der Entwickelungen der Functionen \(v_1\cdots v_n\), welche folgendem System von totalen Differentialgleichungen genügen: \[ dv_1=\mu_1\frac{\frac{dz_1}{r_1}+\frac{dz_2}{r_2}+\cdots +\frac{dz_n}{r_n}}{\left(1-\frac{v_1}{\varrho_1}\right)^m\left(1-\frac{z_1}{r_1}-\frac{z_2}{r_2}-\cdots -\frac{z_n}{r_n}\right)}, \] \[ dv_m=\mu_m\frac{\frac{dz_1}{r_1}+\frac {dz_2}{r_2}+\cdots +\frac {dz_n}{r_n}}{\left(1-\frac {v_m}{\varrho_m}\right)^m\left(1-\frac {z_1}{r_1}-\frac {z_2}{r_2}-\cdots -\frac {z_n}{r_n}\right)}. \] Die Gleichungen lassen sich einzeln integriren, und zwar haben die Integrale, welche mit \(z\) verschwinden, die Form: \[ \frac {\varrho}{m+1}\left\{1-\left(1-\frac {v}{\varrho}\right)^{m+1}\right\}=-\mu \log\left(1-\frac {z_1}{r_1}- \cdots -\frac {z_n}{r_n}\right). \] \(v\) bleibt offenbar synektisch, so lange \(z_1\cdots z_n\) innerhalb der Kreise mit den Radien \(s_1\cdots s_n\) bleiben, die der Bedingung genügen: \[ \frac {s_1}{r_1}+\frac {s_2}{r_2}+\cdots +\frac {s_n}{r_n}<1-e^{-\frac {\varrho}{(m+1)^\mu}} \] \[ (\text{für } v=v_1, v_2\cdots v_m,\quad \mu=\mu_1,\mu_2\cdots \mu_n). \] Die Reihen für die Functionen \(u\) bleiben daher innerhalb derselben Grenzen convergent. Es sei noch erwähnt, dass im ersten Abschnitt p. 266 sich die Bemerkung findet, die Lösungen einer totalen Differentialgleichung mit den zwei unabhängigen Variabeln \(z_1,z_2\) und der abhängigen \(u\), falls die Bedingungsgleichung der Integrabilität nicht identisch erfüllt wird, seien unter den Functionen \(u\) zu suchen, welche durch die Auflösung dieser Gleichung nach \(u\) gegeben sind, während bekanntlich in diesem Falle gar keine Lösungen \(u\) als Functionen der Independenten \(z_1, z_2\) existiren. Eine ähnliche irrthümliche Bemerkung findet sich p. 272 betreffs einer totalen Differentialgleichung mit mehr als 2 Independenten.

MSC:
34A05 Explicit solutions, first integrals of ordinary differential equations
34A30 Linear ordinary differential equations and systems, general
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Full Text: EuDML