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Study of the integration methods for second order partial differential equations for one function of two independent variables. (Étude sur les méthodes d’intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre d’une fonction de deux variables indépendantes.) (Russian) JFM 04.0156.03
Grunert Arch. LIV, 209-360 (1872); Traduit du russe par J. Hoüel.
Der Hauptgegenstand dieser Abhandlung ist derselbe, den Ampère im 17. und 18. Hefte des J. de l’Éc. Pol. behandelt hat. Der Verfasser hat nicht nur die schwierige Aufgabe, von diesen berühmten Untersuchungen Ampère’s eine klare und übersichtliche Darstellung zu geben, mit vielem Geschick gelöst, sondern dieselben auch durch Anwendung neuerer Methoden vervollständigt und namentlich die Theorie der Ampère’schen Gleichung \[ (1.)\quad H\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+2K\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}+L\frac{\partial^2z}{\partial y^2}+M+N\left[\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right)^2\right]=0 \] durch eigene Forschung wesentlich gefördert.
Bei der Ausdehnung des Aufsatzes und der Wichtigkeit, die derselbe für jeden besitzt, der sich über die Integrationsmethoden der partiellen Differentialgleichungen \(2^{\text{ter}}\) Ordnung unterrichten will – mit Ausschluss der Integration durch Reihen und durch bestimmte Integrale bringt der Aufsatz eigentlich Alles, was auf diesem Gebiete bisher*) [*Das Original erschien 1868 in den Mém. de Kasan] geleistet worden ist – dürfte eine Wiedergabe des Inhaltes in kurzen Worten weder ein einfaches und leichtes, noch auch gerade ein sehr zweckmässiges Unternehmen sein. Statt eines Ueberblickes möge daher hier ein Inhaltsverzeichniss folgen. Der Versuch, in dieser Form eine Uebersicht über die behandelten Gegenstände zu geben, wird um so mehr gerechtfertigt erscheinen, als der Abhandlung selbst kein Inhaltsverzeichniss beigegeben ist, und auch die einzelnen Paragraphen keine Ueberschriften tragen. Die eingeklammerten Stellen sprechen persönliche Meinungen des Referenten aus.
Inhalt.
Vorwort. Kurze Angabe des allgemeinen Inhaltes.
Cap. 1. Ueber die Integralgleichungen der partiellen Differentialgleichungen.
§1. Die verschiedenen Arten von Integralgleichungen.
§2. Beispiel. Die Art, in der Lagrange die allgemeine Lösung durch die Methode der Variation der Constanten aus der vollständigen Lösung abzuleiten suchte. Anwendung derselben Methode auf die Zwischenintegrale. Hindernisse, die sich der Ableitung von vollständigen Zwischenintegralen aus der vollständigen Lösung entgegenstellen. Es existiren überhaupt nicht immer Zwischenintegrale.
§3. Die willkürlichen Grössen, die in der allgemeinen Intgegralgleichung auftreten, müssen die Eigenschaft besitzen, dass ihre Anzahl wächst bei wiederholter Differentiation der Gleichung. Die beiden Ausdrucksweisen willkürlicher Grössen, welche dieser Bedingung genügen: Willkürliche Functionen und partielle Quadraturen.
§4. Ueber die Art; in welcher aus einer allgemeinen Integralgleichung ohne partielle Quadraturen durch fortgesetzte Differentiation neue willkürliche Grössen entstehen. Homogene und heterogene Differentialquotienten der allgemeinen Lösung.
§5. Bei einer partiellen Differentialgleichung \(m^{\text{ter}}\) Ordnung muss die allgemeine Integralgleichung ohne partielle Quadraturen \(m\) willkürliche Functionen enthalten.
§6. Wie man, unter Voraussetzung der Existenz einer allgemeinen Integralgleichung ohne partielle Quadraturen, aus der Form der gegebenen partiellen Differentialgleichung \(2^{\text{ter}}\) Ordnung Schlüsse ziehen kann auf die Natur der Argumente der beiden willkürlichen Functionen, die in der allgemeinen Integralgleichung vorkommen müssen. Die quadratische Gleichung, von der diese Argumente abhängen. Ausdehnung auf partielle Differentialgleichungen \(3^{\text{ter}}\) Ordnung.
Cap. II. Integration der einfachsten Formen von partiellen Differentialgleichungen \(2^{\text{ter}}\) Ordnung.
§7. Die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung von der Form: \[ R\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+2S\frac {\partial^2 z}{\partial x \partial y}+T\frac {\partial^2 z}{\partial y^2}+\varphi\left(x, y, z, \frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right)=0, \] wo \(R\), \(S\), \(T\) nur von \(x\) und \(y\) abhängen, eine allgemeine Integralgleichung mit zwei willkürlichen Functionen desselben Argumentes besitzt. Zurückführung dieser Classe von Gleichungen auf gewöhnliche Differentialgleichungen \(2^{\text{ter}}\) Ordnung.
§8. Wichtigkeit der Gleichungen von der Form \[ F\left(x,y,z,\frac{\partial z}{\partial x},\frac {\partial z}{\partial y},\frac {\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right)=0. \] Dieselben besitzen ein allgemeines Zwischenintegral mit einer willkürlichen Function von \(y\), wenn sie linear sind in Bezug auf \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\quad \text{und}\quad \frac{\partial z}{\partial x}, \] und wenn überdies die Coefficienten der Gleichung der Eulerschen Integrabilitätsbedingung genügen. Die Ermittelung der allgemeinen Integralgleichung hängt dann nur noch ab von der successiven Integration einer totalen Differentialgleichung zwischen 3 Variabeln und einer gewöhnlichen Differentialgleichung \(1^{\text{ter}}\) Ordnung.
§9. Eine recurrirende Methode Imschenetsky’s, die unter Umständen auch dann zur allgemeinen Integration der Gleichungen: \[ G\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}+H\frac{\partial z}{\partial x}+K=0 \] führen kann, wenn die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt ist.
§10. Die Laplace’sche Methode zur Integration der Gleichungen: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}+P\frac{\partial z}{\partial x}+Q\frac{\partial z}{\partial y}+Nz=M \] wird als specieller Fall aus der vorhergehenden abgeleitet.
§11. Ableitung eines von Legendre (Acad. des sciences 1787) ohne Beweis angegebenen Verfahrens, welches auch die allgemeine lineare Gleichung \(2^{\text{ter}}\) Ordnung der Laplace’schen Methode zugänglich macht.
Cap. III. Integration der Ampère’schen Gleichung (1).
§12. Ableitung der charakteristischen linearen Systeme durch die Methoden von Ampère, Monge und Boole (von denen die letzte jedoch kaum wiederzuerkennen ist). Bedingungen, unter denen sich die Ampère’sche Methode überhaupt auf solche partielle Differentialgleichungen \(2^{\text{ter}}\) Ordnung ausdehnen lässt, die ganz und rational sind in Bezug auf die zweiten Differentialquotienten.
§13. Integration der Gleichung (1) in dem Falle, wo die beiden charakteristischen partiellen Differentialgleichungen ein Jacobi’sches System bilden.
§14. Simultane Integration dieser beiden Charakteristiken, wenn sie kein Jacobi’sches System bilden.
(Die Untersuchungen der §§13 u. 14 lassen sich vereinfachen, wenn man an Stelle der Boole’schen Methode, die der Verfasser anwendet und die unnöthige Integrationen erfordert, zur simultanen Integration der beiden Charakteristiken die neueren Integrationsmethoden der partiellen Differentialgleichungen \(q^{\text{ter}}\) Ordnung benutzt).
§15. Die Transformationen von Legendre und von Ampère.
§16. Die Monge’sche Methode zur Integration der Gleichung (1), wenn jedes der beiden charakteristischen Systeme von totalen Differentialgleichungen weniger als 3 Integrale besitzt. Merkwürdige Eigenschaft dieser Systeme. (Warum sich dieser Ampère’sche Satz hier mitten zwischen Exposition und Anwendung der Monge’schen Methode eingefügt findet, ist uns nicht ganz verständlich, da derselbe, wenn er überhaupt benutzt wird, jedenfalls erst im folgenden Paragraphen in Betracht kommen kann.)
§17. Ampère’s Methode zur Integration der Gleichung (1), falls dieselbe ein allgemeines Zwischenintegral besitzt.
Cap. IV. Imschenetsky’s Anwendung der Variation der Constanten zur Transformation und Integration der Gleichung (1). Uebergang von einer partikulären Lösung mit 3 willkürlichen Constanten zur allgemeinen Lösung.
§18. Mit Hülfe einer partikulären Lösung, die 3 willkürliche Constanten enthält, kann man die Gleichung (1) zurückführen auf eine partielle Differentialgleichung \(2^{\text{ter}}\) Ordnung, die linear ist in Bezug auf die zweiten partiellen Differentialquotienten der neuen unbekannten Function. Stellt man dieselbe Transformation mit einer willkürlich gewählten Function \(z\) von \(x\), \(y\) und 3 willkürlichen Constanten an, so erhält stets die transformirte Gleichung dieselbe Form, wie die ursprüngliche.
§19. Erläuterung der Methode an einem Beispiel.
§20. Wenn man solche partikuläre Lösungen der Gleichung (1) zu Grunde legt, die aus Integralen der charakteristischen Systeme abgeleitet worden sind, so erhält stets die transformirte Gleichung eine noch beträchtlich einfachere Form.
§21. Beispiele. Am zweiten werden die Vorzüge der Imschenetsky’schen Methode vor der von Ampère erläutert.
§22. An einem Beispiele wird gezeigt, wie man mitunter auch eine partikuläre Lösung mit nur 2 willkürlichen Constanten zur Ableitung der allgemeinen Lösung verwenden kann.
§23. Recapitulation der gewonnenen Resultate. Bemerkungen über die beste Art, die Methode anzuwenden, wenn die charakteristischen totalen Systeme mehr als ein Integral besitzen.

MSC:
35G20 Nonlinear higher-order PDEs
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