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On the theory of first order partial differential equation, especially on their classification. (Zur Theorie partieller Differentialgleichungen erster Ordnung, insbesondere über eine Classification derselben.) (German) JFM 04.0163.02

1) Die erste der citirten Arbeiten (JFM 04.0162.04) macht nur Mittheilung von dem Hauptresultat der folgenden Abhandlung.
2) Der zweite Aufsatz giebt eine neue Integrations-Methode für diejenigen Systeme linearer partieller Differentialgleichungen, auf welche Jacobi die partiellen Differentialgleichungen \(1^{\text{ter}}\) Ordnung überhaupt, und Clebsch das Pfaff’sche Problem zurückgeführt hat. Diese sogenannten Jacobi’schen Systeme lassen sich auf die Form bringen: \[ (\alpha)\quad A_1(f)=0,\quad A_2(f)=0,\cdots A_{m-1}(f)=0, \] wo allgemein: \[ A_i(f)=\frac {\partial f}{\partial x_i}+a_m^i\frac {\partial f}{\partial x_m}+a_{m+1}^i\frac {\partial f}{\partial x_{m+1}}+\cdots a_n^i\frac {\partial f}{\partial x_n}, \] und die Coefficienten \(a_k^\lambda\) solche Functionen von \(x_1x_2\cdots x_n\) sind, dass für jedes \(f\) identisch ist: \[ (\beta)\quad A_h[A_i(f)]=A_i[A_h(f)]. \] Der Verfasser zeigt, dass die Auffindung aller gemeinsamen Lösungen der Gleichungen \((\alpha)\) von der vollständigen Integration eines einzigen Systems von \(n-m+1\) gewöhnlichen Differentialgleichungen abhängt, und dass zur Ermittelung einer gemeinsamen Lösung schon die Kenntniss irgend eines Integrales dieses Systems hinreicht. Aus der Verbindung des letzteren Satzes mit der Jacobi’schen Methode folgt dann, dass die vollständige Lösung einer gegebenen partiellen Differentialgleichung \(1^{\text{ter}}\) Ordnung mit \(n\) unabhängigen Variabeln, in der die unbekannte Function selbst nicht vorkommt, nur die Entdeckung eines Integrales von je einem System von \[ 2n-2,2n-4,\cdots 4,2 \] gewöhnlichen Differentialgleichungen erfordert. Dessgleichen ergiebt sich, wenn man den Satz anwendet auf diejenigen linearen System, auf welche durch Clebsch die Integration der totalen Differentialgleichung \[ X_1dx_1+X_2dx_2+\cdots +X_{2n}dx_{2n}=0 \] zurückgeführt worden ist, dass es zur vollständigen Lösung des Pfaff’schen Problems genügt, ein Integral von je einem System von \[ 2n-1,2n-3,\cdots 3,1 \] gewöhnlichen Differentialgleichungen zu finden.
Den Ausgangspunkt der Arbeit bildet die allgemeine Bemerkung, dass aus jeder gemeinsamen Lösung der \(m-1\) partiellen Differentialgleichungen \((\alpha)\), wenn man dieselbe einer willkürlichen Constanten gleichsetzt, ein Integral des Systems von \(n-m+1\) totalen Differentialgleichungen hervorgeht: \[ (\gamma)\quad dx_k=a_k'dx_1+a_k^2dx_2+\cdots a_k^{m-1}dx_{m-1}, k=m,m+1,\cdots n, \] und umgekehrt, wobei es noch ganz dahingestellt bleibt, ob die Identitäten \((\beta)\) bestehen, oder nicht. Es werden daher zunächst an Stelle der partiellen Differentialgleichungen \((\alpha)\) die totalen \((\gamma)\) betrachtet, jedoch nur unter Voraussetzung der Identitäten \((\beta)\). Die Untersuchung ergiebt (§§2 u. 7), dass alsdann das System \((\gamma)\) ein unbeschränkt integrables ist, d. h. (§1) ebensoviel unabhängige Integrale als Gleichungen besitzt. Zur Auffindung dieser Integrale erscheint zuerst die vollständige Integration von \(m-1\) Systemen von je \(n-m+1\) gewöhnlichen Differentialgleichungen nöthig (§2). Durch Anwendung eines Transformationsprincipes, das in seiner einfachsten Form zuerst von Hr. P. du Bois-Reymond (Borchardt J. LXX. siehe F. d. M. II. p. 162, JFM 02.0162.03) zur Integration der durch eine Gleichung integrirbaren totalen Differentialgleichungen benutzt worden ist, gelingt es aber (§§3 u.7), die Integration der Gleichungen \((\gamma)\) und damit zugleich auch (§4) die Auffindung aller gemeinsamen Lösungen des Jacobi’schen Systems \((\alpha)\) zurückzuführen auf die vollständige Integration eines einzigen Systems von \(n-m+1\) gewöhnlichen Differentialgleichungen und hieraus endlich wird (§5) der Satz gefolgert, dass man aus einem beliebigen Integrale dieser gewöhnlichen Differentialgleichungen immer auch eine gemeinsame Lösung der Gleichungen \((\alpha)\) ableiten kann. Die Anwendungen desselben auf die Integration der partiellen Differentialgleichungen \(1^{\text{ter}}\) Ordnung und auf das Pfaff’sche Problem sind in §6 enthalten.
3) Durch geometrische Betrachtungen, angestellt an Räumen mit \(n\) Dimensionen, ist Hr. Lie auf eine neue Integrationsmethode der partiellen Differentialgleichungen \(1^{\text{ter}}\) Ordnung geführt worden, die, ungleich einfacher und übersichtlicher als alle anderen, in Bezug auf die Anzahl von Integrationen, die sie fordert, genau dasselbe leistet, wie die unter 2) besprochene Methode. Diese Lie’sche Methode, deren Grundzüge bereits am 10. Mai 1872 der Academie zu Christiania (siehe das Referat p. 161) vorgelegt wurden, besteht in der fortgesetzten Wiederholung eines und desselben fundamentalen Satzes, eines Theorems, das sich, wenn wir uns, zu leichterer Vergleichung beider Methoden, hier auf solche partielle Gleichungen beschränken, in denen die unbekannte Function selbst nicht vorkommt, so aussprechen lässt:
Die Integration einer partiellen Differentialgleichung \(1^{\text{ter}}\) Ordnung mit \(n\) unabhängigen Variabeln kann mit Hülfe eines beliebigen Integrales von einem System von \(2n-2\) gewöhnlichen Differentialgleichungen zurückgeführt werden auf die Integration einer ebensolchen Gleichung mit nur \(n-1\) unabhängigen Variabeln.
Man braucht nur diesen Satz immer von Neuem anzuwenden, um sofort zu übersehen, dass nach demselben zur vollständigen Lösung einer Gleichung mit \(n\) unabhängigen Variabeln in der That nur erforderlich ist, die Kenntniss eines Integrales von je einem System von \[ 2n-2,2n-4,\dots 4,2 \] gewöhnlichen Differentialgleichungen.
Der Satz selbst ist nur ein specieller Fall des folgenden allgemeinen Theoremes von Lie:
Besitzen \(q\) partielle Differentialgleichungen \(1^{\text{ter}}\) Ordnung zwischen \(n\) Variabeln eine gemeinsame vollständige Lösung mit \(n-q\) willkürliche Constanten, so lässt sich die simultane Integration dieser Gleichungen zurückführen auf die vollständige Lösung einer einzigen partiellen Differentialgleichung \(1^{\text{ter}}\) Ordnung zwischen \(n-1+1\) Variabeln.
Ueber das Raisonnement, durch welches der Verfasser zu diesen wichtigen Sätzen gelangt, enthält die vorliegende Note nur sehr spärlich Andeutungen. Eine ausführliche Skizzirung desselben findet man in der oben erwähnten Mittheilung an die Academie zu Christiania.
4) In der eben besprochenen Note hat Hr. Lie noch nicht die algebraischen Formeln für sein Fundamentaltheorem gegeben. Die vorliegende Mittheilung füllt diese Lücke aus und deutet zugleich an, wie man mit Hülfe zweier Sätze aus der Note 5) ganz ohne geometrische Betrachtungen zum Beweis des Theorems gelangen kann, womit also ein rein analytischer Weg zur Ableitung der Lie’schen Methode selbst vorgezeichnet ist.
5) In der hinterlassenen Abhandlung “Ueber die vollständigen Lösungen einer partiellen Differentialgleichung \(1^{\text{ter}}\) Ordnung”, welche den ”Vorlesungen über Dynamik” beigefügt ist, behandelt Jacobi unter anderen die Aufgabe, aus einer gegebenen vollständigen Lösung beliebige andere vollständige Lösungen abzuleiten, wenn die partielle Differentialgleichung die gesuchte Integration selbst nicht enthält. Der Regel, die dort p. 492 gegeben wird, entspricht in gewissem Sinne das Theorema VIII der Jacobi’schen Nova methodus (Borchardt J. LX) über die Transformation solcher partieller Differentialgleichungen. Bei genauerem Anblick dieser beiden Sätze erkennt man aber sehr bald, dass der eine wie der andere vielfachen, und was das Misslichste ist, nicht im Voraus angebbaren Ausnahmen unterworfen ist. Die vorliegende Note ersetzt daher die Jacobi’schen Regeln durch andere von ganz allgemeiner Gültigkeit. Sie dehnt dieselben überdies aus auf partielle Differentialgleichungen, in denen die unbekannte Function selbst vorkommt, und enthält namentlich die allgemeine Lösung der Aufgabe, aus irgend einer vollständigen Lösung jede ander vollständige Lösung der partiellen Differentialgleichung abzuleiten. Dagegen ist es dem Verfasser nicht gelungen, auch für die allgemeineren Transformationen, welche Jacobi in §61 der Nova methodus betrachtet, die fundamentale Aufgabe allgemein zu lösen, wie aus der vollständigen Lösung der transformirten Gleichung eine vollständige Lösung der ursprünglichen erhalten werden könne. Ausführliche Beweise sind der Mittheilung nicht beigegeben.
6) Dieser Aufsatz zerfällt in drei von einander ganz unabhängige Theile.
Im ersten, welcher das Verhältniss der Lie’schen Methode zu der in 2) auseinandergesetzten bespricht, deutet der Verfaser an, in wie weit beide Methoden denselben Weg gehen und wo sie sich von einander abzweigen.
Der zweite Abschnitt giebt in gedrängter Kürze einen Ueberblick über eine Reihe von neuen allgemeinen Betrachtungen, die, ausgehend von einer Untersuchung der partiellen Differentialgleichungen hinsichtlich derjenigen Eigenschaften, die durch Berührungstransformationen nicht geändert werden, zu einer Ausdehnung der Begriffe: partielle Differentialgleichung \(1^{\text{ter}}\) Ordnung, vollständige Lösung etc. und hierdurch schliesslich zu dem Satze führen, dass es unter den partiellen Differentialgleichungen mit \(n+1\) Variabeln ausser der Classe der linearen noch \(n-1\) andere Classen giebt, deren Lösung durch die vollständige Integration eines Systems von nur \(n\) gewöhnlichen Differentialgleichungen erhalten werden kann. Auch hier hat die Betrachtungsweise einen vorwiegend geometrischen Character. Nach jenen Begriffserweiterungen lässt sich auch eine Gleichung zwischen den Variabeln allein, ohne partielle Differentialquotienten, als eine partielle Differentialgleichung auffassen und die vollständige Lösung einer partiellen Differentialgleichung zwischen \(n+1\) Variabeln braucht nicht nothwendig aus einer einzigen Gleichung zwischen diesen Variabeln und \(n\) willkürlichen Constanten zu bestehen, sondern kann auch, je nachdem, durch \(1, 2, \dots n\) Gleichungen definirt sein, in denen aber immer \(n\) willkürliche Constanten vorkommen müssen. An einem Beispiel wird gezeigt, wie man jedes solche System von Gleichungen als vollständige Lösung einer partiellen Differentialgleichung ansehen, und wie man vo dieser Lösung zu beliebigen anderen Lösungen übergehen kann. Der Verfasser hebt noch hervor, dass sich diese erweiterte Auffassung bei dem allgemeinen Problem der Transformation der partiellen Differentialgleichungen, von dem die Note 5) nur specielle Fälle vollständig absolvirt, mit innerer Nothwendigkeit von selbst aufdränge.
Der dritte Theil endlich bringt Bemerkungen über den sogenannten ungünstigsten Fall. Diese Bemerkungen sind als ein erstes Anzeichen der wichtigen Erscheinung zu betrachten, dass man nicht einer einzigen Methode das ausschliessliche Privilegium zur Integration der partiellen Differentialgleichungen zuerkennen kann, sondern erst von der Combination der verschiedenen Integrationsmethoden die grössten Erfolge zu erwarten haben wird. Wir wollen versuchen, sie hier etwas näher auseinanderzusetzen.
Im Folgenden bezeichnet \((F,\Phi)\) zunächst den Ausdruck: \[ (F,\Phi)=\sum_{h=1}^{h=n}\left(\frac {\partial F}{\partial q_h} \frac{\partial \Phi}{\partial p_h}-\frac {\partial F}{\partial p_h}\frac{\partial \Phi}{\partial q_k}\right), \] hat man aber an Stelle einer der Variabeln \(q\) und des entsprechenden \(p\) zwei neue Variable \(x\) und \(y\) eingeführt, so soll dann dies Zeichen so verstanden werden, dass in der Definition desselben diese \(q\) und \(p\) durch \(x\) und \(y\) zu ersetzen sind.
Dies vorausgeschickt, sei \[ (A)\quad p_1=H_1(q_1\dots q_np_1\dots p_n), \] wo allgemein \[ p_h=\frac{\partial V}{\partial q_k}, \] die zu integrirende partielle Differentialgleichung.
Hat man eine Lösung \(f\) der linearen Gleichung \[ (H_1-p_1,f)=0 \] gefunden, und ergeben die beiden Gleichungen \(p_1=H_1\) und \(f=\text{const.}\) durch Auflösung nach \(p_1\) und \(p_2\): \[ (B)\quad p_1=F_1,\quad p_2=F_2, \] so ist hiermit die gegebene Gleichung zurückgeführt auf die beiden Gleichungen \((B)\). Indem man an Stelle von \(q_2\) eine neue Variable \(x_2\) durch die Substitution: \[ q_2=a_2+(q_1-a_1)x_2 \] einführt, verwandelt man diese Gleichungen in die folgenden \[ (C)\quad p_1=f_1,\quad y_2=f_2, \] wo \[ y_2=\frac{\partial V}{\partial x_2},\quad f_1=F_1+x_2 F_2,\quad f_2=(q_1- a_1)F_2 \] ist. Nach der Lie’schen Methode kann man nun eine gemeinsame vollständige Lösung der beiden Gleichungen \((C)\) durch blosse algebraische Operationen ableiten, sobald man die eine partielle Differentialgleichung mit nur noch \(n- 1\) unabhängigen Variabeln \[ (D)\quad p_1=f_1 \] vollständig integrirt hat, sodass die Integration der gegebenen Gleichung \((A)\) jetzt nur noch abhängt von der vollständigen Integration der Gleichung \((D)\).
Diese letztere wird in derselben Weise mit Hülfe einer Lösung der Gleichung \[ (E)\quad (f_1-p_1,\varphi)=0 \] zurückgeführt auf eine partielle Differentialgleichung mit nur noch \(n-2\) Variabeln u. s. f.
Kennt man aber zufällig nicht bloss eine, sondern alle Lösungen der Gleichung \((E)\), so ist es ganz überflüssig, die Reduction noch weiter zu treiben. Denn mit der Auffindung aller Lösungen von \((E)\) ist nach der Cauchy’schen Methode die Gleichung \((D)\) und nach dem Obigen also auch die gegebene \((A)\) vollständig integrirt.
Will man dagegen zur simultanen Integration der beiden Gleichungen \((C)\) die Jacobi’sche Methode anwenden, so muss man zunächst eine gemeinsame Lösung \(\varphi\) des Jacobi’schen Systems suchen: \[ (f_1-p_1,\varphi)=0,\quad (f_2-y_2,\varphi)=0. \] Dies geschieht in der Weise, dass man mit einer beliebigen Lösung der Gleichung \((E)\) successive die Ausdrücke bildet: \[ \varphi'=(f_2-y_2,\varphi),\quad \varphi''=(f_2-y_2,\varphi'),\cdots \] Jeder derselben ist selbst wieder eine Lösung von \((E)\), und es ist in der Jacobi’schen Methode der ungünstigste Fall, d. h. derjenige, welcher die höchsten Integrationen erfordert, wenn man hierdurch nach und nach alle Lösungen der Gleichung \((E)\) erhält. Damit ist aber nach dem Vorhergehenden die vollständige Lösung der Gleichung \((D)\) gewonnen und das ganze Problem gelöst.
Man sieht also, dass dieser ungünstigste Fall bei der angegebenen Combination der Integrationsmethoden von Lie, Jacobi und Cauchy grade umgekehrt in den allergünstigsten verwandelt wird, und es ist klar, dass dies Verfahren auch dann Vortheil gewähren kann, wenn man durch die Jacobi’sche Methode zwar nicht alle, aber doch eine hinlänglich grosse Anzahl von Lösungen der Gleichung \((E)\) erhält.
Bei der Intgrationsmethode, welche in 2) auseinandergesetzt wird, zeigt sich die Gunst oder Ungunst der Fälle nicht in der geringeren oder grösseren Anzahl von erforderlichen Integrationen, sondern nur darin, dass bald kürzere, bald längere algebraische Operationen auszuführen sind. Lie weist aber nach, dass auch hier das ganze Integrationsgeschäft beendet ist, sobald irgendwo der scheinbar ungünstigste Fall eintritt, dass man, statt einer einzigen, alle gemeinsamen Lösungen der in Betracht kommenden linearen Gleichungen erhält. Dies lässt sich nicht mehr unmittelbar der Cauchy’schen Methode entnehmen: es wird aber sofort klar gemacht durch die Entdeckung, dass diese letztere Methode zur Integration einer partiellen Differentialgleichung eine directe Ausdehnung gestattet auf die simultane Integration mehrerer partieller Differentialgleichungen. Wenn nämlich \(F_1\cdots F_{m-1}\) solche gegebene Functionen von \(q_1\cdots q_n\), \(p_m\cdots p_n\) sind, zwischen denen die Identitäten \[ (F_i-p_i,\quad F_k-p_k)=0 \] bestehen, so lässt sich die simultane Integration der \(m-1\) partiellen Differentialgleichungen \[ p_1=F_1,\dots p_{m-1}=F_{m-1} \] zurückzuführen auf die Auffindung aller gemeinsamen Lösungen des Jacobi’schen Systems von \(m-1\) Gleichungen: \[ (F_i-p_i,f)=0, \] in welchem \(f\) unabhängig von \(p_1\dots p_{m-1}\) angenommen wird.
Da dieses Jacobi’sche System nach dem in 2) mitgetheilten Verfahren zurückführt werden kann auf ein System von \(2(n-m+1)\) gewöhnliche Differentialgleichungen, und diese die kanonische Form besitzen, also ihrerseits wieder äquivalent sind einer partiellen Differentialgleichung mit \(n-m+2\) unabhängigen Variabeln, so erkennt man, dass die angegebene Erweiterung der Cauchy’schen Methode gewissermassen die Brücken bildet, von der Methode des Aufsatzes 2) zu der von Lie.

MSC:

35C05 Solutions to PDEs in closed form
35F05 Linear first-order PDEs
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