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A note on a general class of surfaces and particularly of surfaces which are the locus of points having the constant sum of distances from two fixed lines. (Remarques sur une classe générale de surfaces, et en particulier sur la surface lieu des points dont la somme des distances à deux droites fixes est constante.) (French) JFM 04.0401.01

Für den Fall, wo die Geraden sich rechtwinklig schneiden, hat J. A. Serret das dreifach orthogonale Flächensystem gefunden, zu dem die genannte Fläche gehört. Die Belgische Akademie verlangte darauf Bestimmung der Krümmungslinien, wenn überhaupt die Geraden sich schneiden. Eine darauf eingesandte und in die Memoiren aufgenommene Arbeit von Catalan löst die Aufgabe nicht, wie er selbst sagt. Mannheim erweitert die Betrachtung, indem er beliebige Gerade nimmt, geht jedoch nicht auf Ermittelung der Krümmungslinien aus, sondern theilt nur eine aus einigen Bemerkungen hervorgehende Construction der Hauptkrümmungs-Richtungen und Radien mit, die auch in weiterem Umfage Anwendung gestattet. Seien nämlich um die 2 Geraden Rotationscylinder beschrieben, deren Durchschnitt also für constante Summe ihrer Radien auf der in Rede stehenden Fläche liegt. Dann werden Lichtstrahlen, die von dem einen Cylinder (oder seiner Axe) normal ausgehen, auf der Fläche normal zum andern reflectirt und treffen dessen Axe normal. Die Hauptkrümmungsrichtungen sind dann bezeichnet durch die Diagonalen eines Rhombus, gebildet aus den Projectionen der Indicatricen beider Cylinder auf die Berührungsebene der Fläche. Man fälle nun von einem Punkte der Fläche Lothe auf die 2 Geraden, errichte ein solches auf der Ebene beider, verbinde die 2 Krümmungsmittelpunkte der Cylinderschnitte, welche die 2, durch die 2 Lothe einzeln mit dem dritten bestimmten Ebenen bilden, und trage die Quadratwurzel des Stückes, welches die Verbindungslinie auf der Normale der Fläche abschneidet, auf dem dritten Lothe ab; dann liegt der Endpunkt auf der Indicatrix der Fläche. Mit Hülfe der Ecken des Rhombus kann man dann diese Curve, ihre Axen und dadurch die Hauptkrümmungsradien konstruiren. Das gleiche Verfahren lässt sich anwenden, wenn die Fläche durch eine lineare Relation zwischen den Normalabständen ihres laufenden Punktes von 2 gegebenen Flächen definirt ist.

MSC:

53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces
53A04 Curves in Euclidean and related spaces
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