×

zbMATH — the first resource for mathematics

On the refraction across a prism according to an arbitrary law. (De la réfraction à travers un prisme suivant une loi quelconque.) (French) JFM 04.0533.01
Der Zweck der vorliegenden Arbeit ist, den Gang der Lichtstrahlen in einem Prisma zu verfolgen, und die durch das Prisma hervorgebrachte Ablenkung zu berechnen, wenn das Medium des Prismas nicht mehr isotrop ist, also Strahl und Wellennormale nicht mehr zusammenfallen. Die Resultate sollen die Grundlage einer neuen optischen Beobachtungsmethode bilden; durch Beobachtungen der wirklichen Ablenkung sollen nämlich die Elemente eiens Lichtstrahls unabhängig von jeder Voraussetzung über die Wellenfläche bestimmt werden. Diese Elemente sind: die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wellennormale, der Winkel zwischen Strahl und Normale, die Lage der durch Strahl und Normale gelegten Ebene. Im ersten Theil wird der Fall betrachtet, dass die einfassenden Strahlen parallel sind und in dem Hauptschnitt des Prismas liegen. Aus der Theorie der Brechung einer ebenen Welle in einem beliebigen homogenen (isotropen oder krystallinischen) Medium werden folgende Sätze vorausgesetzt: 1) Eine ebene Welle bleibt nach ein- oder mehrmaliger Brechung an einer ebenen Fläche eben. Fallen also parallele Strahlen auf das Prisma, so sind die austretenden Strahlen wieder parallel. 2) Die Richtung der mehrmals gebrochenen ebenen Welle ist nur von den verschiedenen Geschwindigkeiten der Wellennormale abhängig. Beide Sätze liegen auch der Huyghens’schen Construction zu Grunde, die ausserdem die Strahlen liefert. Diese Construction wird nun zunächst angewandt, um, falls die Wellenfläche bekannt ist, die Lage des Strahles nach der Brechung durch das Prisma zu construiren. Dabei wird der Einfachheit wegen derjenige der parallelen Strahlen genommen, der durch die brechende Kante geht. Man erhält bei dieser Construction nicht den Strahl innerhalb des Prismas, sondern nur seine Projection auf den Hauptschnitt. Analytisch ausgedrückt erhält man zur Bestimmung des austretenden Strahles und der Ablenkung dieselben Gleichungen, wie bei einem isotropen Medium, nur dass der Brechungsexponent nicht als constant zu betrachten ist. Auf bekannte Weise ergeben sich zwei Gleichungen, um den Gang der Strahlen im Prisma und daraus den Brechungsexponenten zu bestimmen. Die Ausführung der Rechnung könnte dazu dienen, eine Reihe von Tangenten an die Durchschnittscurve der Wellenfläche mit dem Hauptschnitt zu legen und so jene Curve graphisch zu bestimmen. Herr Cornu leitet aus den genannten Formeln auf ziemlich einfache Weise einige interessante Sätze über die Lage der gebrochenen Welle innerhalb des Prismas ab. Jene gebrochene Welle (oder vielmehr ihr Durchschnitt mit der Normalebene des Prismas) berührt nicht nur die Wellenfläche, sondern ausserdem eine Ellipse, deren Axen parallel der Halbirungslinie des brechenden Winkels und seines Nebenwinkels sind und die Grösse haben \[ \frac{ 2 \cos \frac{A}{2} }{ \cos \frac{ A+D}{ 2} }, \]   resp.    \[ \frac{ 2 \sin \frac{A}{2} }{ \sin \frac{ A+D}{ 2} } \] (\(A\) brechender Winkel, \(D\) Ablenkung). Diese Ellipse geht stets durch vier feste Punkte, die Schnittpunkte eines um die brechende Kante mit dem Radius 1 beschriebenen Kreises mit den Seiten des Primas und deren Verlängerungen. Im Falle des Minimums der Ablenkung berührt diese Ellipse zugleich die Wellenfläche in demselben Punkte, wie die ebene Welle, so dass man die Wellenfläche in diesem Falle durch die Ellipse, von der man vier Punkte und eine Tangente kennt, ersetzen kann. Danach sind folgende Aufgaben leicht zu lösen: Aus der gegebenen Form der Wellenfläche den Eintritts- und Austrittswinkel für das Minimum der Ablenkung zu berechnen, und die umgekehrte: Aus der Minimalablenkung sowie dem zugehörigen Eintritts- und Austrittswinkel den zugehörigen Punkt der Wellenfläche und die Richtung der Tangente in diesem Punkte, und damit die Richtung und Grösse der Wellennormale und des Strahls zu bestimmen. Die Gleichung, durch die das Minimum der Ablenkung bestimmt wird, ist nicht mehr, wie bei isotropen Medien \(e=e'\), sondern \[ \text{tg\,} \frac{ e-e'}{2} = \frac{ \nu}{ \mu}\;\text{tg\,} \frac{ r-r'}{2}, \] wenn \(c,e'\) Einfalls- und Austrittswinkel sind, \(r, r'\) die Winkel der Wellennormale innerhalb des Primas mit den Normalen der Grenzflächen, \(\mu\) und \(\nu\) die Axen der obigen Ellipse. Endlich findet noch die folgende Gleichung statt: Ist \(\beta\) der Winkel, den die Halbirungslinie des vom eintretenden und austretenden Strahle gebildeten Winkels mit der Halbirungslinie des Prismenwinkels bildet, ist \(\alpha\) der Winkel, den die Wellennormale innerhalb des Prismas, \(\alpha'\) der, den der zugehörige Strahl mit der Halbirungslinie des Prismenwinkels bildet, so ist \[ \text{tg\,}^2 \beta = \text{tg\,} \alpha. \; \text{tg\,} \alpha'; \] die erste Linie liegt daher immer zwischen den beiden andern.
Im zweiten Theile behandelt der Verfasser die Brechung im Prisma für den Fall, dass die einfallenden Strahlen nicht mehr im Normalschnitt liegen, sondern gegen denselben geneigt sind. Der Verfasser beweist zunächst, indem er wieder denjenigen Strahl, der durch die brechende Kante geht, untersucht, folgende Sätze: 1) Die eintretende Welle bildet mit der Prismenkante denselben Winkel \(\theta\), wie die austretende. 2) Auf den Schnitt der Welle mit dem Hauptschnitt des Primas kann man das einfache Brechungsgesetz anwenden, wenn man nur statt des einfachen Brechungsindex \(n\) den folgenden nimmt: \[ m= \sqrt{ n^2 + (n^2 -1) \text{tg\,}^2 \theta}. \] Er bestimmt dann das Bild einer unendlich fernen leuchtenden Linie, die durch das Prisma nahe der brechenden Kante beobachtet wird. Das Verfahren dabei ist folgendes: Die einfallenden Strahlen bilden einen Kegel mit sehr kleiner Oeffnung, dessen Spitze ein Punkt der brechenden Kante des Prismas ist; ebenso die gebrochenen Strahlen. Zunächst wird jeder dieser Kegel ersetzt durch einen mittleren Strahl, der mit dem Hauptschnitt den Winkel \(\theta\) bildet. Bildet die Projection des einfallenden mittleren Strahls auf den Hauptschnitt des Prismas den Winkel \(e\) mit dem Einfallslothe, ist \(e'\) der entsprechende Winkel des austretenden Strahls, \(r, r'\) die Neigungswinkel der ebenen Welle innerhalb des Prismas gegen die Prismenflächen, so ist nach Satz 2) \[ \sin e =m \sin r,\quad \sin e' =m \sin r',\quad r+ r' =A. \] Daraus wird eine Gleichung zwischen \(e, e', A, \theta\) abgeleitet. Für irgend einen andern Strahl des Strahlenkegels sind statt \(e, e', \theta\) zu nehmen \(e+ de, e'+ de', \theta +d \theta.\) Differentiirt man nun die obige Gleichung zwischen \(e, e', A, \theta\), so erhält man eine Beziehung zwischen \(de, d \theta, de',\) und somit ist die Oeffnung \(de'\) des gebrochenen Strahlenkegels bestimmt. Bei der Differentiation ist zu berücksichtigen, dass auch \(n\) mit \(\theta\) variabel ist. Man kann jedoch vorher \(n\) eliminiren, indem man die Gleichung der Ebene der aus dem Prisma austretenden Welle (für den mittleren Strahl) bestimmt. Die gewonnenen Formeln werden auf den Fall angewandt, dass die leuchtende Linie eine gerade ist und ihr Mittelpunkt mit der Spitze des Strahlenkegels in demselben Hauptschnitt des Prismas liegt. Ist dann \(\varphi\) der Winkel, den die durch die leuchtende Linie und die Kegelspitze gelegte Ebene mit der brechenden Prismenkante bildet, \(\varphi'\) der entsprechende Winkel für den gebrochenen Strahlenkegel, so ist \[ \text{tg\,} \varphi = \frac{de}{d \theta},\quad \text{tg\,} \varphi' = -\frac{ de'}{ d\theta}. \] Diese Werthe werden in die obige Gleichung eingesetzt und wird dieselbe dann auf einige Specialfälle angewandt, namentlich \[ \varphi =0,\quad \varphi'= 0,\quad \varphi = \pm \frac{ \pi}{4}. \] Die so abgeleiteten Formeln geben ein Mittel, den Strahl, welcher einer gebrochenen ebenen Welle innerhalb des Prismas zugehört, vollständig zu bestimmen, ebenso den Durchschnitt dieser Welle mit dem Hauptschnitt des Prismas und die Coordinaten Wellenfläche. Die Formeln vereinfachen sich bedeutend für das Minimum der Ablenkung.
Als Anhang giebt der Verfasser noch eine Ausdehnung eines im ersten Theile abgeleiteten Theorems auf den Raum. Jede ebene gebrochene Welle innerhalb des Prismas berührt nämlich ein dreiaxiges Ellipsoid, dessen Keisschnitte die Durchschnitte der Kugel vom Radius 1, die um einen Punkt der brechenden Kante beschrieben ist, mit den Prismenflächen sind. Die grösste und kleinste Axe des Ellipsoids haben denselben Werth, wie in Theil 1) die Ellipsenaxen; sie hängen ab von der Ablenkung der Projection des einfallenden und des austretenden Strahles, und vom brechenden Winkel des Prismas.

MSC:
78A10 Physical optics
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: Numdam EuDML