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A fifth-order interpolant for the Dormand and Prince Runge-Kutta method. (English) Zbl 0687.65078
On considère le problème avec la condition initial \[ y'(t)=f(t,y(t)),\quad t\geq t_ 0,\quad y\in {\mathbb{R}}^ N,\quad y(t_ 0)=y_ 0. \] Dans ce travail les AA. présentent une famille d’interpolants de l’ordre 5 pour la solution d’ordre 5, offerte par la paire Runge-Kutta RK5(4)7M de J. R. Dormand et P. J. Prince [ibid. 6, 19-26 (1980; Zbl 0448.65045)]. L’application dans les calculs de cette famille d’interpolants nécessite deux évaluations additionnelles, à chaque pas, relativement à la fonction f. On apprécie que la paire RK5(4)7M ayant les ordres 4 et 5, qui a été établie par Dormand et Prince, paraît être supérieure à la paire classique de Fehlberg.
Les AA. montrent que, si l’on ajoute une étape à DOPRI5(4), on peut obtenir une approximation de l’ordre 5 dans tout point de l’intervalle \([t_ n,t_{n+1}]\). Puisque dans ce processus sont 4 degrés de liberté, on obtient une famille d’interpolants RK pour DOPRI5(4), qui dépend de 4 paramètres. Puis on détermine une méthode (un interpolant) optimale dans cette famille par la choix des paramètres libres pour minimiser, dans une certaine norme, les coefficients dominants de l’erreur de troncation locale de la solution continue.
En particulier, avec cette mésure d’erreur, l’interpolant proposé dans ce travail est plus exact par rapport à un interpolant antérieur (DPS), proposé par L. F. Shampine [Math. Comput. 173, 135-150 (1986; Zbl 0594.65046)]. Quelques-uns résultats numériques, présentés, dans la section 3 du travail, montrent l’exactité de la solution continue dans tous les points de l’intervalle d’intégration.
Reviewer: A.Coţiu

MSC:
65L05 Numerical methods for initial value problems
34A34 Nonlinear ordinary differential equations and systems, general theory
Software:
DEPAC; dverk
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Full Text: DOI
References:
[1] Dormand, J.R.; Prince, P.J., A family of embedded Runge-Kutta formulae, J. comput. appl. math., 6, (1980) · Zbl 0448.65045
[2] Enright, W.H.; Jackson, K.R.; Norsett, S.P.; Thomsen, P.G., Interpolants for Runge-Kutta formulas, ACM trans. math. software, 12, 3, 193-218, (1986) · Zbl 0617.65068
[3] Fehlberg, E., Klassische Runge-Kutta formeln vierter und niedriger ordnung mit schrittweiten-kontrolle und ihre anwendung auf Wärmeleitungsprobleme, Computing, 6, 1-2, 61-71, (1970) · Zbl 0217.53001
[4] Gladwell, I.; Shampine, L.F.; Baca, L.S.; Brankin, R.W., Practical aspects of interpolation in Runge-Kutta codes, SIAM J. sci. statist. comput., 8, 3, 322-341, (1987) · Zbl 0621.65067
[5] Horn, M.K., Fourth- and fifth-order, scaled Runge-Kutta algorithms for treating dense output, SIAM J. numer. anal., 20, 558-568, (1983) · Zbl 0511.65048
[6] Hull, T.E.; Enright, W.H.; Fellen, B.M.; Sedgwick, A.E., Comparing numerical methods for ODE’s, SIAM J. numer. anal., 9, 4, 603-637, (1972) · Zbl 0221.65115
[7] Hull, T.E.; Enright, W.H.; Jackson, K.R., User’s guide for DVERK-A subroutine for solving nonstiff ODE’s, () · Zbl 0391.65030
[8] Shampine, L.F., Interpolation for Runge-Kutta methods, SIAM J. numer. anal., 22, 5, 1014-1027, (1985) · Zbl 0592.65041
[9] Shampine, L.F., Some practical Runge-Kutta formulas, Math. comp., 173, 135-150, (1986) · Zbl 0594.65046
[10] Shampine, L.F.; Watts, H.A., Practical solution of ordinary differential equations by Runge-Kutta methods, () · Zbl 0221.65117
[11] Shampine, L.F.; Watts, H.A., DEPAC—designed of a user oriented package of ODE solvers, () · Zbl 0407.68036
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