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Nonlinear differential equations. (English) Zbl 0426.35001
Studies in Applied Mechanics. 2. Amsterdam, Oxford, New York: Elsevier Scientific Publishing Company. 359 p. $ 83.00; Dfl. 170.00 (1980).
Das vorliegende Buch stellt eine Einführung in die Theorie der nichtlinearen Randwertprobleme dar, wobei besonderes Gewicht auf das Konzept der schwachen Lösungen gelegt wird. Die zentralen Methoden sind die „Variationsmethode“ und ihre Verallgemeinerung, die Theorie der (pseudo-)monotonen Operatoren. Bei der Variationsmethode werden nichtlineare (elliptische) Randwertprobleme betrachtet, welche als Eulersche Gleichung eines Variationsproblems aufgefaßt werden können. Unter geeigneten Monotonie- (d.h. Elliptizitäts-) und Koerzitivitätsbedingungen kann dann gezeigt werden, daß das zugehörige Funktional (Variationsproblem) ein Minimum, die Eulersche Gleichung also eine (verallgemeinerte) Lösung besitzt. Die Monotoniemethode führt im Prinzip zum selben Resultat, hat aber den Vorteil, daß das Randwertproblem keine „Variationsstruktur“ besitzen muß.
Das Buch richtet sich sowohl an Mathematiker als auch an Ingenieure, und folglich werden von beiden Gruppen Zugeständnisse verlangt. Für die Mathematiker dürfte das Fehlen der Beweise praktisch aller wesentlichen Resultate amschmerzlichsten sein, während von der Gruppe der Ingenieure ein erhebliches Maß an Abstraktion erwartet wird.
Im ersten Kapitel mit dem Titel “Some examples to begin with” werden einige nichtlineare Probleme, wie sie auch in den Anwendungen vorkommen, vorgestellt; z.B. das Minimalflächenproblem, die von Karman Gleichungen, Transmissionsprobleme, und Aufgaben mit Ungleichungen als Nebenbedingungen (Variationsungleichungen).
Im zweiten Kapitel wird der Begriff der nichtlinearen Differentialgleichung präzisiert, technische Bemerkungen über Ränder von Gebieten und Randwerte gemacht, und der Begriff der klassischen Lösung erläutert.
Das ganze dritte Kapitel ist dem Begriff der schwachen Lösungen eines nichtlinearen Randwertproblems gewidmet. Die Definitionen werden mit großer Ausführlichkeit an Beispielen erläutert und vertieft. Außerdem wird gezeigt, daß jede klassische Lösung auch eine schwache Lösung ist.
Die zentralen Kapitel des Buches sind die Kapitel 4 und 5. Im vierten Kapitel wird im wesentlichen gezeigt, daß ein monotoner stetiger koerzitiver Potentialoperator, der einen reflexiven Banachraum in seinem Dualraum abbildet, surjektiv ist. Außerdem werden natürlich Konsequenzen dieses Sachverhaltes für die Lösbarkeit elliptischer Randwertaufgaben aufgezeigt. Im fünften Kapitel, das den Titel “The topological method” trägt, wird das Analogon des obigen Satzes formuliert, für den Fall, daß die Voraussetzung der Variationsstruktur fallen gelassen wird. Außerdem wird die auf Leray und Lions zurückgehende Abschwächung angegeben, welche nur die Monotonie des Hauptteils verlangt.
Im 6. Kapitel werden einige neuere Resultate über nicht-koerzitive Probleme, z.B. Landesman-Lazer Probleme vorgestellt und einige typische Lösungsverhalten angegeben.
Das 7. und letzte Kapitel geht kurz auf Variationsungleichungen ein, wobei, wie auch in den anderen Teilen des Buches, das Schwergewicht auf der Interpretation der abstrakten Formulierung liegt. Es sei noch erwähnt, daß im Anschluß an die Variationsmethode eine kurze Einführung in das Ritzsche Verfahren zur numerischen Lösung von Variationsproblemen gegeben wird.
Die Darstellung ist sehr breit und ausführlich. Die Randwertaufgaben werden in großer Allgemeinheit formuliert (beliebige Ordnung, optimale Wachstumsbedingungen, usw.) und es wird viel Wert darauf gelegt, diese allgemeinen Bedingungen an vielen Einzelfällen zu erläutern. Das Buch kann und will aber nur eine Einführung in die Theorie der schwachen Lösungen von Randwertproblemen sein, genauer, sogar nur in den Teil der Theorie, der auf der elementarsten Variationsmethode (nämlich der Minimisierung eines konvexen Funktionals) bzw. auf der Theorie der monotonen Operatoren beruht. Der Titel ”Nonlinear Dif-ferential Equations” ist also reichlich weit gefaßt.
Schließlich sei bemerkt, daß die wirkliche Bedeutung der beschriebenen Methoden bei der Theorie der partiellen Differentialgleichungen liegt. Natürlich lassen sich die abstrakten Sätze auch auf Zwei-Punkt-Randwertprobleme anwenden. In diesen Fällen werden die Beweise oft wesentlich einfacher und die Resultate sind befriedigender als im Fall der partiellen Differentialgleichungen. Aus diesen Gründen wurde den Zwei-Punkt-Randwertproblemen im vorliegenden Buch ein relativ großer Platz eingeräumt. Es sei jedoch nochmals betont, daß es sich in erster Linie um eine Einführung in ein Teilgebiet der partiellen Differentialgleichungen handelt.
Mit den Autoren ist zu hoffen, daß die Leser dieses Buches zu einem tieferen Eindringen in das interessante und sehr aktuelle Gebiet der nichtlinearen Differentialgleichungen angeregt werden.

MSC:
35-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to partial differential equations
35A15 Variational methods applied to PDEs
35D30 Weak solutions to PDEs
47H05 Monotone operators and generalizations
34-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to ordinary differential equations
49-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to calculus of variations and optimal control