×

Decomposition of artinian alternative rings. (Russian) Zbl 0445.17012

In der Arbeit werden Zerlegungssätze für artinsche alternative Ringe bewiesen, die für den assoziativen Fall auf F. Szász [Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math. Astron. Phys. 11, 351–354 (1963; Zbl 0121.04003)], Dinh Van Huynh [Math. Nachr. 91, 117–126 (1979; Zbl 0428.16017)], A. Kertész und den Autor [J. Reine Angew. Math. 242, 8–15 (1970; Zbl 0211.05901)] und den Autor [Stud. Sci. Math. Hung. 12, 29–36 (1977; Zbl 0442.16014)] zurückgehen.
Es wird gezeigt, daß jeder artinsche alternative Ring spaltbar ist (d.h. daß er die ringdirekte Summe seines maximalen Torsionsideales und eines torsionsfreien Ringes ist).
Das Hauptergebnis ist ein Zerlegungssatz für beliebige artinsche alternative Ringe: Ein solcher Ring \(A\) besitzt die gruppendirekte Zerlegung \(A = B\oplus C\), wobei \(B\) ein Ideal und \(C\) ein Linksideal von \(A\) sind mit den folgenden Eigenschaften: \(C\) ist ein streng artinscher Ring, d.h. die additive Gruppe von \(C\) erfüllt die Minimalbedingung für Untergruppen, und es gilt \(C\supseteq S(A)\) für das (stets existierende) maximale streng artinsche Ideal \(S(A)\) von \(A\); \(B\) ist ein artinscher Ring mit Rechtseinselement, und der Faktorring von \(B\) nach seinem Radikal ist eine direkte Summe einfacher artinscher Ringe.
Hieraus folgen weitere Ergebnisse durch Spezialisierung: Ist \(A\) rechts- und linksartinsch, so ist die Zerlegung im Hauptsatz ringdirekt, d.h. es gilt \(A = B \boxplus S(A)\). Ferner erhält man z.B. Charakterisierungen der Klasse der erblich artinschen Ringe.
Der Autor dankt dem Rezensenten der Arbeit für einen Literaturhinweis, der es erlaubte, einige Resultate allgemeiner zu fassen.

MSC:

17D05 Alternative rings
16P20 Artinian rings and modules (associative rings and algebras)
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: EuDML MNR