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Zeta-functions and quadratic fields. An introduction into higher number theory. (Zetafunktionen und quadratische Körper. Eine Einführung in die höhere Zahlentheorie.) (German) Zbl 0459.10001

Hochschultext. Berlin - Heidelberg - New York: Springer-Verlag. ix, 144 S., 8 Abb. DM 28.00; $ 12.80 (1981).
In seinem Vorwort schreibt der Verf.: ,,Das Ziel dieses Buches ist, die Theorie der binären quadratischen Formen, die im letzten Jahrhundert in ihren algebraischen Aspekten von Gauß und in ihren analytischen Aspekten von Dirichlet entwickelt wurde, darzustellen. Diese Theorie, die früher zur normalen Ausbildung in der Mathematik gehörte, wird heute den Studenten oft nur als Beispiel für die moderne algebraische Zahlentheorie, analytische Zahlentheorie oder Klassenkörpertheorie präsentiert. Da sie aber eine große Schönheit besitzt und außerdem elementar zugänglich ist, halte ich es für zweckmäßig, sie umgekehrt als Einführung in die genannten Gebiete zu benutzen, die ja historisch aus ihr hervorgegangen sind. ...
Das Buch basiert auf Vorlesungen in Bonn (SS 1975) und Harvard (WS 1977) und ist als Vorläufer eines umfassenderen Buches auf Englisch gedacht.”
Teil I trägt den Titel ’Dirichletsche Reihen’. In ihm werden die analytische Theorie der Dirichletschen Reihen und ihre formalen Eigenschaften, die Gammafunktion, die Riemannsche Zetafunktion, Charaktere, \(L\)-Reihen, Werte von Dirichletschen Reihen, insbesondere von \(L\)-Reihen, an negativen ganzen Stellen, behandelt.
Teil II trägt den Titel ’Quadratische Körper und ihre Zetafunktionen’. In ihm werden die Theorie der binären quadratischen Formen, ihr Zusammenhang mit den quadratischen Zahlkörpern und verschiedene algebraische und analytische Aspekte dieser Theorie dargestellt: die Berechnung von \(L(1,\chi)\) und die Klassenzahlformeln, die Zetafunktion eines quadratischen Körpers, Geschlechtertheorie, Reduktionstheorie, Werte von Zetafunktionen bei \(s =0\), Kettenbrüche und Klassenzahlen.
Inhaltlich besonders hervorgehoben zu werden verdienen in die systematische Darstellung eingearbeitete Originalbeiträge des Autors: Die am Ende von §13 beschriebene Zerlegung der Zetafunktion einer Idealklasse in einem reellquadratischen Körper mit Hilfe der Reduktionstheorie und in §14 ihre Anwendung auf die Berechnung der Werte dieser Zetafunktionen bei \(s=0\) sowie der Zusammenhang zwischen Dedekindschen Summen und Kettenbrüchen.
Zahlreiche, teilweise recht interessante, Übungsaufgaben am Ende jedes Paragraphen geben dem Leser Gelegenheit, tiefer in die Materie einzudringen. Bei aller Systematik werden auch die historischen Zusammenhänge nicht vernachlässigt, sei es durch einen erläuternden Text, sei es durch einschlägige Literaturhinweise.
Nach Meinung des Referenten gibt das Buch eine überaus sorgfältig geschriebene, interessante, elementar gehaltene Darstellung eines Herzstücks der klassischen Zahlentheorie mit Blick auf neuere Entwicklungen, in der sich Kompetenz und Erfahrung ihres Autors widerspiegeln. Hoffentlich wird die geplante englische Version genauso gut!

MSC:

11-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
11Exx Forms and linear algebraic groups
11Mxx Zeta and \(L\)-functions: analytic theory
11Rxx Algebraic number theory: global fields
11E41 Class numbers of quadratic and Hermitian forms
11E45 Analytic theory (Epstein zeta functions; relations with automorphic forms and functions)
11H55 Quadratic forms (reduction theory, extreme forms, etc.)
11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
11M35 Hurwitz and Lerch zeta functions
11D09 Quadratic and bilinear Diophantine equations
11A55 Continued fractions
11R11 Quadratic extensions
11R29 Class numbers, class groups, discriminants
11R42 Zeta functions and \(L\)-functions of number fields
11R80 Totally real fields

Online Encyclopedia of Integer Sequences:

Primes of form 8n+1, that is, primes congruent to 1 mod 8.
Primes of the form 8n+7, that is, primes congruent to -1 mod 8.
Primes congruent to 1 or 19 (mod 30).
Primes congruent to {0, 1, 4} mod 5.
Odd primes p such that 13 is a square mod p.
Primes p such that 17 is a square mod p.
Primes congruent to 1 (mod 12).
Primes of the form x^2 + 45y^2.
Primes of the form x^2 + 5x*y + y^2 for x and y nonnegative.
Primes of the form 4*x^2+x*y-4*y^2 (as well as of the form 4*x^2+9*x*y+y^2).
Primes of the form 2*x^2+5*x*y-5*y^2 (as well as of the form 7*x^2+11*x*y+2*y^2).
Primes of the form -x^2+2*x*y+2*y^2 (as well as of the form 3*x^2+6*x*y+2*y^2).
Duplicate of A139492.
Primes of the form -x^2 + 3*x*y + 3*y^2 (as well as of the form 5*x^2 + 9*x*y + 3*y^2).
Primes of the form 4*x^2+6*x*y-7*y^2.
Primes of the form x^2+12*x*y-y^2.
Primes of the form 9*x^2+7*x*y-5*y^2.
Primes of the form x^2+15*x*y-y^2.
Primes of the form 8*x^2+x*y-8*y^2.
Primes of the form 4*x^2+9*x*y-11*y^2.
Primes of the form x^2+4*x*y-2*y^2 (as well as of the form 3*x^2+6*x*y+y^2).
Primes of the form -x^2+4*x*y+2*y^2 (as well as of the form 5*x^2+8*x*y+2*y^2).
Primes of the form 2*x^2+2*x*y-3*y^2 (as well as of the form 2*x^2+6*x*y+y^2).
Primes of the form -2*x^2+2*x*y+3*y^2 (as well as of the form 6*x^2+10*x*y+3*y^2).
Primes of the form 3*x^2 + 2*x*y - 3*y^2 (as well as of the form 3*x^2 + 8*x*y + 2*y^2).
Primes of the form x^2+6*x*y-y^2 (as well as of the form 6*x^2+8*x*y+y^2).
Primes of the form 2*x^2+3*x*y-4*y^2 (as well as of the form 2*x^2+7*x*y+y^2).
Primes of the form x^2+6*x*y-2*y^2 (as well as of the form 5*x^2+8*x*y+y^2).
Primes of the form -x^2+6*x*y+2*y^2 (as well as of the form 7*x^2+10*x*y+2*y^2).
Primes of the form -x^2+6*x*y+3*y^2 (as well as of the form 8*x^2+12*x*y+3*y^2).
Primes of the form x^2+7*x*y-y^2 (as well as of the form 7*x^2+9*x*y+y^2).
Primes of the form 2*x^2+4*x*y-5*y^2 (as well as of the form 2*x^2+8*x*y+y^2).
Primes of the form -2*x^2+4*x*y+5*y^2 (as well as of the form 10*x^2+16*x*y+5*y^2).
Primes of the form 3*x^2+3*x*y-4*y^2 (as well as of the form 8*x^2+11*x*y+2*y^2).
Primes of the form -3*x^2+3*x*y+4*y^2 (as well as of the form 6*x^2+9*x*y+y^2).
Primes of the form 3*x^2+5*x*y-3*y^2 (as well as 5*x^2+9*x*y+y^2).
Primes of the form -x^2+6*x*y+6*y^2 (as well as of the form 11*x^2+18*x*y+6*y^2).
Primes of the form 2*x^2+6*x*y-3*y^2 (as well as of the form 5*x^2+10*x*y+2*y^2).
Primes of the form -2*x^2+6*x*y+3*y^2 (as well as of the form 7*x^2+12*x*y+3*y^2).
Primes of the form 2*x^2+6*x*y-7*y^2 (as well as of the form 2*x^2+10*x*y+y^2).
Primes of the form -2*x^2+6*x*y+7*y^2 (as well as of the form 14*x^2+22*x*y+7*y^2).
Primes of the form x^2+9*x*y-3*y^2 (as well as of the form 7*x^2+11*x*y+y^2).
Primes of the form -x^2+9*x*y+3*y^2 (as well as of the form 11*x^2+15*x*y+3*y^2).
Primes of the form 3*x^2+16*y^2. Also primes of the form 4*x^2+4*x*y-5*y^2 (as well as primes the form 4*x^2+12*x*y+3*y^2).
Primes of the form x^2 + 8*x*y - 8*y^2 (as well as of the form x^2 + 10*x*y + y^2).
Primes of the form -x^2 + 8*x*y + 8*y^2 (as well as of the form 15*x^2 + 24*x*y + 8*y^2).
Primes of the form 4*x^2 + 3*x*y - 4*y^2 (as well as of the form 2*x^2 + 9*x*y + y^2).
Primes of the form 3*x^2 + 5*x*y - 5*y^2 (as well as of the form 7*x^2 + 13*x*y + 3*y^2).
Primes of the form x^2 + 9*x*y - y^2 (as well as of the form 9*x^2 + 11*x*y + y^2).
Primes of the form 3*x^2 + 4*x*y - 6*y^2 (as well as of the form 3*x^2 + 10*x*y + y^2).
Primes of the form -3*x^2 + 4*x*y + 6*y^2 (as well as of the form 7*x^2 + 12*x*y + 2*y^2).
Primes of the form 4*x^2 + 3*x*y - 5*y^2 (as well as of the form 8*x^2 + 11*x*y + y^2).
Primes of the form -x^2 + 5*x*y + 5*y^2 (as well as of the form 9*x^2 + 15*x*y + 5*y^2).
Primes of the form 3*x^2 + 4*x*y - 5*y^2 (as well as of the form 3*x^2 + 10*x*y + 2*y^2).
Primes of the form -3*x^2 + 4*x*y + 5*y^2 (as well as of the form 6*x^2 + 10*x*y + y^2).
Duplicate of A038987.
Number of Zagier-reduced indefinite quadratic forms over the integers in two variables with discriminants D(n) = A079896(n).
Number of primitive Zagier-reduced indefinite quadratic forms over the integers in two variables with discriminants D(n) = A079896(n).
Irregular triangle read by rows: period lengths of periods of Zagier-reduced binary quadratic forms with discriminants D(n) = A079896(n).
Irregular triangle read by rows: period lengths of periods of primitive Zagier-reduced binary quadratic forms with discriminants D(n) = A079896(n).
Number of Zagier-reduced binary quadratic forms of discriminant n^2-4.
Number of Zagier-reduced binary quadratic forms of discriminant n^2+4.
Number of finite sequences of positive integers with alternant equal to n.
The length of the period under Zagier-reduction of the principal indefinite quadratic binary form of discriminant D(n) = A079896(n).