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Unsolved problems in number theory. (English) Zbl 0474.10001
Problem Books in Mathematics. Unsolved Problems in Intuitive Mathematics, Vol. 1. New York - Heidelberg - Berlin: Springer-Verlag. XVIII, 161 p., 17 Figs. DM 42.00; $ 19.60 (1981).
“Mathematics is kept alive \(\dots\) by the appearence of a succession of unsolved problems, both from within mathematics itself and from the increasing number of disciplines where it is applied. Mathematics often owes more to those who ask questions than to those who answer then”. Getreu diesem Zitat aus dem Vorwort des vorliegenden, Paul Erdős gewidmeten Buches gibt der Verfasser eine umfangreiche Sammlung von Problemen aus dem Bereich der Zahlentheorie, die zu weiterer Beschäftigung mit zahlentheoretischen Fragestellungen anregen sollen. Zusätzlich gibt der Verfasser Hintergrundinformationen, d.h. eine Übersicht über bekannte Ergebnisse und ausführliche Literaturverweise nach jedem Problem, die gelegentlich 40 und mehr Zitate umfassen.
Die Probleme stammen aus folgenden Teilgebieten der Zahlentheorie:
A) Primzahlen (Primzahlen spezialler Gestalt, Primzahlen in arithmetischen Progressionen, Lücken zwischen Primzahlen, Zwillinge, Carmichael Zahlen, Gauß’sche Primzahlen, Formeln für \(p_n\) und andere).
B) Teilbarkeit (perfekte Zahlen, befreundete Zahlen, aliquot sequences, Lösungen von \(\sigma(n)= \sigma(n+1)\), ist \(\sum \sigma_k(n)/n!\) irrational, Cullen’sche Zahlen, Teilbarkeitseigenschaften von Fakultät und Binomialkoeffizienten, Carmicheal’s Vermutung, und viele andere).
C) Additive Zahlentheorie (Scholz’sche Vermutung, für welche \(N\) ist \(N= \sum a_i x_i\) unlörbar?, Folgen \(\{a_i\}\) für die alle \(a_i+a_j\) verschieden sind, perfekte Differenzmengen, Fragen über additive Basen, ‘maximal sum-free sets”, Damen auf dem Schachbrett, Darstellung durch vier teilerfremde Quadrate, u.a.).
D) Diophantische Gleichungen (im Umfeld der Fermat’schen Vermutung, spezielle diophantische Gleichungen, Catalan’s Vermutung, Darstellung durch Stammbrüche, und viele andere).
E) Folgen ganzer Zahlen (dünne Folgen \(\{a_i\}\), so daß \(p+a_i=n\) für große \(n\) lösbar wird, Konvergenz von \(\sum(-1)^n\cdot n/p_n\), Umfeld des van der Waerden’schen Satzes über arithmetische Progressionen, u.v.a.).
F) Vermischte Probleme.
Ein ausführliches Namens- und Sachverzeichnis beschließen das Buch. Der Verfasser hat dankenswerterweise eine umfangreiche Liste (20 pp.) von Errata und Addenda zu diesem Buch zusamemngestellt, die u.a. weitere Literaturverweise und weitere Ergebnisse numerischer Rechnungen enthalten.

MSC:
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
00A07 Problem books
11Axx Elementary number theory
11Dxx Diophantine equations
11A05 Multiplicative structure; Euclidean algorithm; greatest common divisors
11A41 Primes
11A25 Arithmetic functions; related numbers; inversion formulas
11B39 Fibonacci and Lucas numbers and polynomials and generalizations
11N05 Distribution of primes
11B13 Additive bases, including sumsets
11B25 Arithmetic progressions
11D41 Higher degree equations; Fermat’s equation
11D85 Representation problems
05A05 Permutations, words, matrices