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Einführung in die Gitterpunktlehre. (German) Zbl 0489.10001

Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften. Mathematische Reihe. Band 73. Basel-Boston-Stuttgart: Birkhäuser Verlag. xvi, 215 S. SFr. 86.00; DM 94.00 (1982).
Das vorliegende Buch ist die erste systematische Einführung in die Gitterpunktlehre. Es ist hauptsächlich einer eingehenden Diskussion der Funktion \(A_k(t)\), der Anzahl der Gitterpunkte in der \(k\)-dimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius \(\sqrt t\) um den Nullpunkt im \(\mathbb R^k\), gewidmet. Vom Leser werden nur bescheidene Vorkenntnisse erwartet (Grundkenntnisse aus der Infinitesimalrechnung, Funktionentheorie und elementaren Zahlentheorie). In einem relativ langen Anhang werden speziellere Hilfsmittel über das Kugelvolumen, die Gammafunktion, Fareybrüche, den Dirichletschen Primzahlsatz, die Eulersche Summenformel, Fourier-Reihen, Bessel-Funktionen und die Riemannsche Zetafunktion bereitgestellt. Die Darstellung ist ausführlich und klar, so daß das Buch schon von Studenten mittlerer Semester mit Erfolg gelesen werden kann. Am Ende eines jeden Kapitels findet man interessante Anmerkungen über Beweisvarianten und verwandte Untersuchungen mit vielen Hinweisen auf die Geschichte und die Literatur der jeweiligen Themenkreise. Diese Anmerkungen sind in Verbindung mit dem sehr reichhaltigen Literaturverzeichnis hervorragend geeignet, dem Leser die Reize der Gitterpunktlehre zu erschließen. Das vorliegende Buch kann daher allen, die die Methoden der analytischen Zahlentheorie an einem wichtigen Beispiel studieren wollen, sehr empfohlen werden.
Es folgt ein kurzer Überblick über den Inhalt des Buches: §1 führt in die Problemstellung ein und zeigt, daß \[ A_k(t) = V_k(t) + O(t^{(k-1)/2}) \tag{1} \] ist, wobei \(V_k(t)\) das Volumen der Kugel vom Radius \(\sqrt t\) im \(\mathbb R^k\) bezeichnet. Als erste untere Abschätzung der Größe des Fehlerterms wird gezeigt, daß \[ A_k(t) = V_k(t) + \Omega(t^{k/2-1}) \tag{2} \] ist.
Kapitel I beschäftigt sich mit der Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl \(n\) als Summe von zwei, drei oder vier Quadraten. Der Verfasser beweist hier die Gaußschen Formeln für die Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl \(n\) als Summe von zwei bzw. drei Quadraten (mit einer Anwendung auf das Kreisproblem). Die Formel von Jacobi über die Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl \(n\) als Summe von vier Quadraten wird bewiesen und zum Beweis der gegenüber (1), (2) verbesserten asymptotischen Aussagen \[ A_4(t) = V_4(t) + O(t \log t),\quad A_4(t) = V_4(t) + \Omega(t \log \log t) \] herangezogen.
In Kapitel II wird vor allem das schwierige Kreisproblem diskutiert. Die Sierpińskische Abschätzung \[ A_2(t) = \pi t + O(t^{1/3}) \tag{3} \] wird mit Hilfe des Satzes von van der Corput bewiesen; alternativ dazu wird ein zweiter Beweis nach Landau geführt. Die untere Abschätzung \[ A_2(t) = \pi t + \Omega(t^{1/4} (\log t)^{-1/2}) \tag{4} \] ergibt sich aus dem Satz von Erdős-Fuchs. Ferner werden Varianten des Kreisproblems, z.B. das Teilerproblem, diskutiert.
In Kapitel III wendet sich der Verf. Gitterpunktproblemen in höheren Dimensionen zu und zeigt zunächst für \(k\ge 4\) \[ A_k(t) = V_k(t) + O(t^{k/2-1}\log t) \] und für \(k\ge 4\) sogar \[ A_k(t) = V_k(t) + O(t^{k/2-1}) \] Damit ist für \(k\ge 4\) die Größe \[ \alpha_k := \inf \{\beta: A_k(t) = V_k(t) + O(t^\beta)\} \] genau bestimmt. Für \(k=2\) wird \(\alpha_2\) durch (3) und (4) eingegrenzt, und für \(k=3\) erzielt der Verf. als Schranken für \(\alpha_3\) \[ A_3(t) = V_3(t) + O(t^{5/6}),\quad A_3(t) = V_3(t) + \Omega(t^{1/2}\log \log t). \] (Bessere Resultate von Vinogradov und Szegő werden zitiert.) Als Verallgemeinerung des Teilerproblems auf höhere Dimensionen wird das Piltzsche Teilerproblem diskutiert.
Als Verallgemeinerung des Kugelproblems behandelt der Verf. im Kapitel IV das Ellipsoidproblem, d.h. die Frage nach dem asymptotischen Verhalten der Anzahl \(A_q(t)\) der Gitterpunkte im Ellipsoid \(\{x\in\mathbb R^n: Q(x)\le t\}\) \(Q\) positiv definite quadratische Form) für \(t\to\infty\). Zur Diskussion dieses Problems wird zunächst die Theta-Transformationsformel bereitgestellt und auf den Fall „rationaler“ Ellipsoide angewandt. Hier entsprechen die Resultate dem, was man vom Kugelproblem her erwartet. Für den schwierigeren Fall „irrationaler“ Ellipsoide, werden die klassischen Sätze von Landau und Walfisz (mit Beweisandeutungen) besprochen, und es wird in chronologischer Abfolge die weitere Entwicklung auf diesem interessanten Gebiet bis in die neueste Zeit besprochen.

MSC:

11-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
11P21 Lattice points in specified regions
11P05 Waring’s problem and variants
11E25 Sums of squares and representations by other particular quadratic forms
11N37 Asymptotic results on arithmetic functions