Siegelsche Modulfunktionen. (German) Zbl 0498.10016

Freitag, E.

Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 254. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. x, 341 S. DM 168.00; $ 67,20 (1983).

Das vorliegende Buch ist das erste überhaupt über Siegelsche Modulformen und -funktionen. Bisher standen dem Interessenten neben der umfangreichen Originalliteratur lediglich einige Vorlesungsausarbeitungen und die Berichte des Séminaire Cartan zur Verfügung. Siegelsche Modulformen \(n\)-ten Grades vom Gewicht \(k\) sind holomorphe Funktionen, die auf der oberen Halbebene \(\mathcal H_n\) erklärt sind und dem Transformationsgesetz \[ f((AZ + B)(CZ + D)^{-1}) = \det(CZ + D)^k f(Z) \] für alle \(\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix} \in\Gamma_n = \mathrm{Sp}(n, \mathbb Z)\) genügen. Diese faßt man zum Vektorraum \(\mathfrak M_n^k\) zusammen, außerdem ist der Körper \(K(\Gamma_n)\) derjenigen auf \(\mathcal H_n\) meromorphen Funktionen von Interesse, die sich (global) als Quotienten von Modulformen gleichen Gewichts schreiben lassen. (Es sei stets \(n>1\) vorausgesetzt.)
Im ersten von insgesamt vier Kapiteln des vorliegenden Buches werden auf schnellstmöglichem Wege die grundlegenden Eigenschaften von \(\mathfrak M_n^k\) und \(K(\Gamma_n)\) hergeleitet.
1) \(\mathfrak M_n^k\) ist ein endlich-dimensionaler Vektorraum. 2) Der Siegelsche \(\Phi\)-Operator \(\Phi: \mathfrak M_n^k\to\mathfrak M_{n-1}^k\) ist surjektiv für \(k>2n\) \((k\) gerade). 3) \(K(\Gamma_n)\) ist ein algebraischer Funktionenkörper vom Transzendenzgrad \(n(n+1)/2\).
In Kapitel II wird die Satakekompaktifizierung des Quotientenraums \(\widehat{\mathcal H_n/\Gamma_n}\) eingeführt: \[ \widehat{\mathcal H_n/\Gamma_n} = \mathcal H_n/\Gamma_n\cup \mathcal H_{n-1}/\Gamma_{n-1}\cup \cdots\cup\mathcal H_0/\Gamma_0. \] Schrittweise werden die topologische, analytische und algebraische Struktur von \(\widehat{\mathcal H_n/\Gamma_n}\) behandelt. Als wichtigste Folgerungen ergeben sich:
1) Der graduierte Ring \(\oplus_k \mathfrak M_n^k\) aller Modulformen \(n\)-ten Grades ist endlich erzeugt.
2) Der Körper \(K(\Gamma_n)\) stimmt überein mit dem Körper aller \(\Gamma_n\)-invarianten meromorphen Funktionen auf \(\mathcal H_n\).
Das Kapitel III, das der Untersuchung der Struktur von \(K(\Gamma_n)\) gewidmet ist, stellt den schwierigsten und zugleich aktuellsten Teil des Buches dar. Der Verf. hatte schon in [Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 47, 25–41 (1978; Zbl 0402.10028)] und in [J. Reine Angew. Math. 296, 162–(1977; Zbl 0366.10023)] gezeigt, daß die Körper \(K(\Gamma_n)\) nicht rational sind für \(n\equiv 1(8)\), \(n>9\) bzw. \(n\equiv 0(24)\), indem er nachwies, daß gewisse \(K(\Gamma_n)\) zugeordnete Invarianten in diesen Fällen nicht verschwinden. Diese Resultate werden ausführlich behandelt.
Als Höhepunkt dieses Kapitels ist jedoch ein Beweis des schönen Satzes von Y.-S. Tai [Invent. Math. 68, 425–439 (1982; Zbl 0508.14038)] anzusprechen: \(K(\Gamma_n)\) ist von allgemeinem Typ für \(n\ge 8\) (bei Tai: \(n\ge 9)\). Der Beweis wird geführt mittels einer zu diesem Zweck entwickelten Theorie der „holomorphen Tensoren mit Fortsetzungseigenschaft“. Dadurch wird – anders als bei Tai – der Bezug auf spezielle Modelle von \(K(\Gamma_n)\) vermieden.
Im vierten Kapitel behandelt der Verf. schließlich die Theorie der Heckeoperatoren. Es wird zunächst die Struktur der abstrakten Heckealgebra nach Andrianov-Satake-Shimura-Zharkovskaya behandelt, danach wird die Vertauschbarkeit von Heckeoperatoren und Siegelschem \(\Phi\)-Operator untersucht. Es ergibt sich der grundlegende Satz, daß \(\mathfrak M_n^k\) eine Basis aus Eigenfunktionen der Heckealgebra besitzt.
Auf die wichtige Frage nach dem multiplikativen Aufbau der Fourierkoeffizienten solcher Eigenfunktionen (Eulerprodukte, analytische Eigenschaften zugeordneter Zetafunktionen...) wird aus guten Gründen nicht eingegangen. Es wird jedoch mittels der Theorie der singulären Modulformen die Wirkung der Heckeoperatoren auf Thetareihen untersucht. Als Folgerung ergeben sich Spezialfälle des Siegelschen Hauptsatzes, der einmal Ausgangspunkt der ganzen Theorie war.
Besonders hervorzuheben ist an diesem Buch, daß es den Leser rasch mit tiefliegenden Resultaten vertraut macht und an Probleme der aktuellen Forschung heranführt. Der Schwierigkeitsgrad wechselt von Kapitel zu Kapitel, Studenten mittlerer Semester sollten die Kapitel I und IV zugänglich sein.

Reviewer: Siegfried Böcherer (Mannheim)

MSC:

11F46	Siegel modular groups; Siegel and Hilbert-Siegel modular and automorphic forms
11-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
32N05	General theory of automorphic functions of several complex variables
32N10	Automorphic forms in several complex variables
11F25	Hecke-Petersson operators, differential operators (one variable)
11F27	Theta series; Weil representation; theta correspondences
14D20	Algebraic moduli problems, moduli of vector bundles
14K05	Algebraic theory of abelian varieties

Keywords:

Siegel modular functions; Siegel modular forms; fields of automorphic functions; Satake compactification; Hecke operators; Hecke algebra

Citations:

Zbl 0402.10028; Zbl 0366.10023; Zbl 0508.14038