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Sur la résolution de l’équation du quatrième degré. (French) JFM 05.0080.01

Ausgehend von den beiden quadratischen Formen \[ \begin{aligned} \varphi &=a_0x^2+a_2 y^2+a_4z^2+2a_3yz+2a_2xz+2a_1xy,\\ \psi &=y^2-4Xz,\end{aligned} \] welche die Gleichungen zweier Kegelschnitte repräsentiren, verfolgt der Verfasser den Weg, welchen man einschlagen würde, um die den beiden Kegelschnitten gemeinsamen Punkte zu finden, ohne aber geometrische Betrachtungen hineinzumischen. Er wird so auf leichte Weise zu dem Ausdruck der 4 Wurzeln einer biquadratischen Gleichung durch eine Summe von 4 Wurzelausdrücken geführt. Diese Summe hat die Form: \[ (v_2-v_3)\sqrt {-h-v_1f}\pm(v_3-v_1)\sqrt{-hv_2f-v_2f}\pm (v_1-v_2)\sqrt{-h-v_3f}=0, \] worin \(v_1,v_2,v_3\) die Wurzeln der Gleichung \[ 4m^3-Im-J=0, \] \(I, J\) die quadratische resp. cubische Invariante, \(k\) die Hessische Covariante der Form \[ f=a_0x^4+4a_1x^3y+6a_2x^2y^2+4a_3xy^3+a_4y^1 \] sind. Aus dem obigen Ausdruck wird nun derjenige für die allgemeinste Function einer Wurzel durch eine Summe von Wurzelausdrücken abgeleitet, d. h. der Ausdruck der allgemeinsten Function einer Wurzel, wofür die Summe der 4 Werthe null is. Diser allgemeine Ausdruck enthält unter den Wurzelzeichen die Quadrate der Wurzeln der Resolvente, und unterscheidet sich dadurch von demjenigen, welchen Aronhold (Borchardt J. LII.) gegeben hat. Es folgt aus jenem Ausdruck, dass man duch blosse Quadratwurzelausziehung jede vorgelegte biquadratische Gleichung in eine andere transformiren kann, deren quadratische Invariante verschwindet. Diese Idee hat früher Hermite benutzt, um die allgemeine Gleichung \(4^{\text{ten}}\) Grades auf solche Form zu reduciren, wie sie in der Theorie der Dreitheilung der elliptischen Functionen auftreten, und darauf die Lösung der biquadratischen Gleichungen mit Hülfe der elliptischen Functionen zu basiren. (Vgl. Hermite: Sur la théorie des équations modulaires etc. Paris 1859, p. 17).

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Full Text: EuDML Gallica