×

A note on a formula of integral calculus. (Note sur une formule de calcul intégral.) (French) JFM 05.0152.02

I. Der Cauchy’sche Satz \[ \int \frac{f'(t)}{f(t)}\, dt=2\pi\sqrt{- 1}.p, \] wo das Integral sich über eine geschlossene Curve erstreckt, in welcher \(f(t)\) weder Null noch unendlich wird und \(p\) eine ganze Zahl ist, wird auf mehrere Variable in folgender Fassung erweitert:
Bezeichnet \(\Delta\) die Functionaldeterminante der \(n\) Functionen \(f(tuv\dots), \varphi(tuv\dots), \psi(tuv\dots),\dots\) von \(n\) Variabeln \(tuv\dots\), so ist \[ \iiint\dots \frac{\Delta} {f(tuv\dots). \varepsilon(tuv\dots). \psi(tuv\dots)}\, dt.du.dv\dots= (2\pi\sqrt{-1})^np, \] wo in dem links befindlichen \(n\)-fachen Integral \(t\) einen geschlossenen Umfang \(T\), \(u\) einen geschlossenen Umfang \(U\) u. s. f. durchläuft und die Voraussetzung gemacht ist, dass durch kein System der Werthe \(tuv\dots\) auf ihren bezüglichen Bahnen eine der Functionen \(f,\varphi,\psi,\dots\) Null oder unendlich wird. \(p\) bedeutet wieder eine ganze Zahl.
Der Beweis wird für \(n=2\) ausgeführt und für grössere Werte von \(n\) durch die Schlussreihe von \(n\) auf \(n+1\) geliefert.
II. Für den Fall, dass \(f,\varphi,\psi,\dots\) ganze rationale Polynome bezeichnen, wird bewiesen, dass \(p\) zwischen \(-S\) und \(+S\) liegt, so \(S\) die Anzahl derjenigen gemeinschaftlichen Lösungen des Systems \(f=0, \varphi=0, \psi=0,\dots\) bedeutet, welche sich im Innern der resp. Contoure \(T,U,V,\dots\) befinden. Bei dem Beweise, welcher sich der Kürze wegen auf 2 Functionen zweier Variablen beschränkt, dient die bekannte Jacobi’sche Formel \[ \sum \frac{F(\alpha\beta)} {\frac{\partial f}{\partial\alpha}\cdot \frac{\partial\varphi} {\partial\beta}- \frac{\partial\varphi} {\partial\alpha} \frac{\partial f}{\partial\beta}} =0 \quad \begin{aligned} &(F\text{ eine beliebiges Polynom von}\\ &\text{niederem Grade als der Nenner}) \end{aligned} \] zum Ausgangspunkt.
III. Die Anzahl der gemeinsamen Lösungen von \(f(tu)=0\), \(\varphi(tu)=0\), welche innerhalb gegebener Contouren \(T\) und \(U\) enthalten sind, wird mit Hülfe der in den vorhergehenden Abschnitten entwickelten Formeln durch ein Doppelintegral ausgedrückt, woran einige Folgerungen geknüpft werden.

MSC:

26A42 Integrals of Riemann, Stieltjes and Lebesgue type
26B99 Functions of several variables
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: Numdam EuDML