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On a remarkable class curves and algebraic surfaces and the theory of imaginaries. (Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques et sur la théorie des imaginaires.) (French) JFM 05.0399.01
Mém. de Bordeaux VIII. 292-350, IX. 1-276 (1873).
Den Hauptinhalt der umfangreichen Arbeit bildet die Untersuchung der cyclischen Curven und Flächen. Unter cyclischen Curven (Cyclicacylique) versteht der Verfasser diejenigen Raumcurven, welche den Durchschnitt einer Kugel und einer Fläche zweiten Grades bilden, und diejenigen ebenen Curven, welche man aus jenen durch Transformation mittelst reciproker Radien erhält; d. h. die ebenen Curven vierten Grades, welche die imaginären Kreispunkte als Doppelpunkte enthalten. Eine cyclische Fläche oder Cyclide ist eine Fläche vierten Grades, welche den unendlich entfernten imaginären Kreis als Doppelcurve enthält. Ueber dieselben Gebilde sind früher bereits Untersuchungen veröffentlicht, und zwar unter andern vom Verfasser (vergl. F. d. M. Bd. II. p. 571, JFM 02.0571.03), und von Herrn Caysey (vgl. F. d. M. Bd. III. p. 397, JFM 04.0397.01). Auch die Untersuchungen des Herrn Moutard über anallagmatische Gebilde behandeln viele Eigenschaften der cyclischen Flächen und Curven, zu welchen übrigens eine grosse Anzahl der bekannteren speciellen Curven und Flächen vierten Grades gehören, z. B. die Fusspunktencurven der Kegelschnitte, die Descartes’schen Ovale, die Lemniscate, die cubique circulaire, die Cissoide in der Ebene; im Raume die sphärischen Kegelschnitte, das Viviani’sche Fenster; von Flächen die Dupin’sche Cyclide und die Spira, die Fusspunktenflächen der Flächen zweiten Grades u. a. m. Die Cycliken, deren allgemeine Gestalt nach der von Painvin über die Raumcurven vierten Grades angestellten, vom Verfasser noch etwas weiter durchgeführten Untersuchungen discutirt werden kann, (vergl. Nouv. Ann. (2) VII. p. 481-501 und 529-545 oder F. d. M. I. 242, JFM 01.0242.01), haben eine Reihe interessanter geometrischer Eigenschaften. Eine sphärische Cyclika kann nämlich auf vier verschiedene Arten angesehen werden als Enveloppe von Kreisen, welche einen Kugelkreis, den Directorkreis, rechtwinklig schneiden, und deren sphärische Centra auf einem sphärischen Kegelschnitte, dem Deferenten, liegen; nämlich die Tangentialebenen eines jeden der vier Kegel zweiten Grades, welche durch die Cyclika gelegt werden können, schneiden die Kugel in Kreisen einer solchen Schaar, Hieraus folgt, dass eine Cyclika durch reciproke Radien wieder in eine Cyclika transformirt wird; und wenn man als Centrum der Transformation den Scheitel eines der eben genannten vier Kegel wählt, so transformirt sich bei passender Wahl des Modulus die Cyclika in sich selbst, weshalb sie nach Herrn Moutard anallagmatische Curven genannt werden. An einer anderen Stelle zeigt der Verfasser, dass jede Cyclika durch reciproke Radien in einen sphärischen Kegelschnitt transformirt werden kann. Die vier Directorkreise einer Cyclika schneiden sich paarweise rechtwinklig, die vier Deferenten-Kegelschnitte sind confocal. Aus die vier Schaaren doppelt berührender Kreise sind die Kreise mit dem Radius Null besonders wichtig, ihre Mittelpunkte sind die Brennpunkte der Cyclika. Es sind dies die Durchschnitte je eines Directorkreises mit dem zugehörigen Deferentenkegelschnitt, im Ganzen 16 Punkte, von denen nur vier reell sein können. Mit Hülfe des Poncelet’schen Theorems ergiebt sich eine lineare Relation zwischen den Distanzen eines beliebigen Punktes der Cyclika von drei auf demselben Directorkreise liegenden Brennpunkten, oder noch allgemeiner zwischen den Tangenten von einem Punkte der Curve an drei die Curve doppelt berührende Kugeln, welche derselben Schaar angehören. Der Ort der Mittelpunkte der die Cyclika doppelt berührenden Kugeln mit dem Radius \(0\), der nach den Definitionen des Verfassers (siehe weiter unten) die sogenannten Focallinien der gegebenen Curve bildet, setzt sich zusammen aus vier Cycliken, welche auf vier Kugeln liegen, die orthogonl sind zu der Kugel, auf welcher die gegebene Curve liegt. Eine jede dieser vier Focalcurven hat die drei andern nebst der gegebenen Curve zu Focalcurven; und es existirt eine lineare Relation zwischen den Distanzen eines Punktes, der sich auf einer dieser fünf Curven bewegt, von drei festen Punkten, die auf einer der vier andern Curven liegen. Hierin und in einigen weiteren Consequenzen, die wir hier übergehehn, liegt eine bemerkenswerthe Analogie mit den räumlichen Focaleigenschaften der Kegelschnitte. Nur dies sei noch erwähnt, dass durch jeden Punkt einer Kugel zwei einander rechtwinklig schneidende Cycliken gehen, welche gegebene Brennpunkte haben. (Von den 16 Brennpunkten sind 12 durch die vier andern bestimmt). In Bezug auf die Discussion specieller Fälle muss auf die Arbeit selbst verwiesen werden.
Die Cycliden sind durch projectivische Verwandtschaft aus der Kummer’schen Fläche vierten Grades mit einem beliebigen Kegelschnitt als Doppelcurve abzuleiten, so dass die Eigenschaften derselben als specielle Fälle aus denen dieser allgemeineren Fläche hervorgehen. Der Verfasser hält trotzdem eine speciellere Untersuchung nicht für überflüssig, da sie sich mit verhältnissmässig einfachen Methoden durchführen lässt, einen einfachen Ausspruch der Resultate gestattet, und da sich hieraus wieder die Theorie der Kummer’schen Fläche, sowie die der allgemeinen Fläche dritten Grades durch projectivische Relationen herleiten lassen.
Eine Fundamental-Eigenschaft der Cycliden besteht darin, dass sie Enveloppen von Kugeln sind, die eine gegebene Kugel, die Directrix, rechtwinklig schneiden, und deren Mittelpunkte auf einer Fläche zweiten Grades, der Deferente, liegen. Jede Cyclide kann auf fünffache Weise als eine solche Enveloppe angesehen werden, und zwar sind die fünf Deferenten confocale Flächen und die fünf Directrices orthogonale Kugeln. Aus dieser Eigenschaft kann nun eine Reihe von Folgerungen gezogen werden, analog wie bei den Cycliken, u. a. dass sie anallagmatische Flächen sind, sowie dass sie durch reciproke Radien in Flächen zweiten Grades transformirt werden, dass die Brennlinien der Cycliden d. h. die Orte der Mittelpunkte unendlich kleiner, sie doppelt berührende Kugeln diejenigen fünf Cycliken sind, in denen jede Directrix die zugehörige Deferentenfläche schneidet, und dass diese fünf Cycliken in dem oben bei den Focaleigenschaften dieser Curven besprochenen Zusammenhange stehen. Die Betrachtung der Brennlinien der Cycliden führt zu derjenigen confocaler Cycliden, bei welcher sich ergiebt, dass durch jeden Punkt im Raume drei einem Systeme confocaler Cycliden angehörige Flächen gehen, welche sich rechtwinklig schneiden. Andere Eigenschaften der Cycliden, so wie die Untersuchung der speciellen Arten dieser Flächen, der auf den Cycliden befindlichen ebenen und sphärischen Curven, die sämmtlich Cycliken sind, können hier übergangen werden.
Die Abhandlung enthält ausser diesem Hauptinhalt eine grosse Menge von Betrachtungen allgemeineren Characters und von Nebenuntersuchungen, welche theils einleitende Abschnitte der Haupttheile bilden, theils in den Text eingefüft sind, theils endlich in einer grossen Reihe von umfangreichen Noten tome IX p. 121-276 niedergelegt sind. So ist ein grosser Abschnitt der Transformation durch reciproke Radien (Inversion) gewidmet. Interessant ist hieran besonders die projectivische Auffassung, durch welche diese Transformation als ein specieller Fall der folgenden allgemeineren Verwandtschaft auftritt: Wenn gegeben ist ein Punkt \(O\) und eine Fläche zweiten Grades \(k^2\), so soll irgend einen Punkte \(A\) oder Punkt \(A'\) entsprechen, welchen der Strahl \(OA\) mit der Polarebene von \(A\) in Bezug auf \(k^2\) gemein hat. Diese Verwandtschaft geht offenbar in die reciproke über, wenn man \(k^2\) als eine Kugel und \(O\) als ihren Mittelpunkt wählt. Die Betrachtung dieser allgemeinen Verwandtschaft ist aber namentlich für die Auffassung der singulären Fälle von Bedeutung und führt u.a. für die Inversion zu dem Resultat, dass jeder Geraden, welche durch den unendlich entfernten Kreis geht, eine gewisse andere leicht zu bestimmende Kreisgerade entspricht, welche den unendlich entfernten Kreis in einem andern Punkte schneidet. Die ist für die Betrachtung der Focaleigenschaften wichtig. Auch die Reduction des Grades der transformirten Gebilde in gewissen speciellen Fällen wird durch diese Betrachtung leicht erkennbar. Zum Studium der Focaleigenschaften einer Fläche betrachtet der Verfasser die von ihm sogenannte abwickelbare Focalfläche; d. h. diejenige (imaginäre) abwickelbare Fläche, deren Generatrices durch den unendlich entfernten Kreis gehen und die gegebene Fläche berühren; ebenso ist die abwickelbare Focalfläche einer Curve diejenige imaginäre abwickelbare Fläche, deren Generatrices durch den unendlich entfernten Kreis und durch die gegebene Curve gehen; die Doppellinien dieser Fläche sind die sogenannten Focallinien; jeder Punkt einer Focallinie heisst ein Brennpunkt der Fläch respective der Curve.
Die abwickelbaren Focalflächen sind ausgezeichnet durch die Eigenschaft, dass das Bogendifferential der Rückkehrcurve derselben Null ist, dass also jeder Bogen auf dieser Curve die Länge Null hat.
Die Normalen der abwickelbaren Focalflächen fallen mit den Generatrices derselben zusammen, und jede auf ihr befindliche Curve ist als eine Krümmungslinie anzusehen. Da nun die abwickelbare Focalfläche die gegebene Fläche selbst in einer Curve berührt, so muss diese Curve auch für die Fläche selbst eine Krümmungslinie sein, und zwar ist sie der (imaginäre) Durchschnitt der Fläche mit der unendlich nahen confocalen Fläche. Diese und ähnliche Betrachtungen, auf welche hier nicht genauer eingegangen werden kann, führen den Verfasser zu interessanten Resultaten bezüglich der orthogonalen Flächen, u. a. zu folgenden Sätzen. Wenn drei Systeme orthogonaler Flächen so beschaffen sind, dass zwei von ihnen durch dieselbe Gleichungsform ausgedrückt sind, sich also nur durch Werthe der Parameter unterscheiden, so sind diese beiden Systeme wenigstens theilweise confocal, und ihre Enveloppe ist eine abwickelbare Fläche, welche vond en Flächen des dritten Systems in Geraden geschnitten wird. Diese Geraden sind für jede Fläche des dritten Systems Enveloppen von Krümmungslinien. Ferner: Wenn die Krümmungslinien einer Fläche eine Enveloppe haben, so setzt sich dieselbe aus mehreren Kreisgeraden zusammen, wofern sie nicht die singuläre Krümmungslinie ist, in welcher die abwickelbare Focalfläche die Fläche berührt. Es sind hierin Erweiterungen der von Herrn Kummer für ebene Orthogonalsysteme entdeckten Eigenschaften ausgesprochen. Es mag schliesslich erwähnt werden, dass die abwickelbaren Focalflächen in der Transformation durch reciproke Radien in die abwickelbaren Focalflächen der transformirten Flächen übergehen. (Man vergleiche in Bezug auf die Orthogonalsysteme die Arbeit von Schläfli, “Ueber die allgemeinste Flächenschaar” etc. Borchardt J. LXXVI p. 126-149. Referat in diesem Bande p. 390, JFM 05.0390.04).
Ein grösserer eingeschobener Abschnitt enthält eigenthümliche Betrachtungen imaginärer Punkte in ebenen und sphärischen Gebilden. Die Betrachtung zweiere conjugirter imaginärer Punkte geschieht vermittelst der beiden reellen Punkte, durch welche die durch die imaginären Punkte gelegenen Kreisgeraden hindurchgehen. Das so erhaltene reelle Punktpaar und das Paar conjugirter Punkt heissen associirte Punktpaare. Dann ergiebt sich die Relation, dass das Verhältniss der Abstände eines beliebigen Punktes in der Ebene von den Punkten eines Paares gleich \(e^{iv}\) ist, wo \(v\) den Winkel bedeutet, unter welchem von jenem Punkte aus das associirte Punktpaar erscheint. Dagegen ist das Product der Abstände eines beliebigen Punktes von den Punkten eines Paares dem Producte der Abstände desselben Punktes von den Punkten des associirten Paares gleich. Für die Kugel gelten ähnliche Relationen, mit dem bemerkenswerthen Unterschiede, dass statt des Winkels, unter welchem zwei Punkte von einem dritten aus gesehen erscheinen, der Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks auftritt, welches dieser dritte Punkt mit zwei gewissen andern Punkten bildet.
Sind nun in der Ebene \(ab, a'b'\) und \(xy\) die rechtwinkligen Coordinaten dreier reeller Punkte, so kann man dieselben Punkte definiren durch die imaginären Coordinaten \[ \begin{aligned} \alpha & =a+bi,\\ \alpha' & =a'+b'i,\\ u & =x+yi,\end{aligned}\qquad \begin{aligned} \beta & =a-bi,\\ \beta'& =a'-b'i,\\ v & =x-yi.\end{aligned} \] Dann werden die zu den Punkten \(\alpha\beta\) und \(\alpha'\beta'\) associirten Punkte in diesem neuen Coordinatensystem die Coordinaten \(\alpha,\beta\), und \(\alpha'\beta\) haben, und das Quadrat der Distanz \(r\) des Punktes \(uv\) von \(\alpha\beta\) ist gegeben durch die Gleichung \[ r^2=(u-\alpha)(v-\beta). \] Diese Betrachtungen sind wichtig für eine Klasse von ebenen Curven, welche definirt sind als der geometrische Ort derjenigen Punkte, für welche das Product der Abstände von einer Reihe von festen Punkten zu dem Product der Abstände von einer anderen Reihe fester Punkte ein constantes Verhältniss hat. In Bezug auf die eben besprochenen imaginären Coordinaten kann nämlich die Gleichung der Curve in die Form \[ \frac{\varphi(u)}{\psi(u)}=\frac{\psi_1(v)}{\varphi_1(v)} \] gebracht werden, wobie die \(\varphi\) und \(\varphi_1, \psi\) und \(\psi_1\) ganze rationale Functionen bedeuten, die paarweise conjugirt sind. Diese Gleichung lässt sich in die Form bringen \[ \frac{\varphi(u)+\lambda\psi(u)}{\lambda'\varphi(u)+\psi(u)}=\frac{\psi_1(v)+ \lambda\varphi_1(v)}{\lambda'\psi_1(v)+\varphi_1(v)}, \] welche sich von der vorigen nur dadurch unterscheidet, dass die Wurzeln des Zählers und des Nenners andere geworden sind. Hieraus folgt der Satz: Wenn eine Curve der oben definirte geometrische Ort ist, so ist sie es auch, wenn man die beiden Systeme von festen Punkten auf passende Weise durch andere Systeme ersetzt, und zwar auf unendlich vielfache Weise, so dass einer der Punkte beliebig gewählt werden kann. Im Allgemeinen haben beide Systeme gleichviel Punkte, auch wenn die anfangs gegebenen Systeme eine verschiedene Zahl haben. Dieselbe Curve hat alsdann auch die Eigenschaft, dass von ihren Punkten aus gesehen gewisse Punktpaare unter Winkeln erscheinen, deren algebraische Summe constant ist, und zwar sind auch diese Punktpaare auf unendlich viele Weisen auswählbar und liegen auf der Curve selbst. Diese Eigenschaft hängt mit der vorher besprochenen durch die oben angedeutete Relation zusammen. Wenn man bei der betrachteten Curve endlich den Werth des constanen Verhältnisses der Producte ändert, so erhält man eine Schaar von Curvne, deren Orthogonalsystem aus Curven derselben Art besteht, und zwar so, dass die algebraische Summe der Winkel constant ist, unter welchen die Punktpaare des ersten Systems von jedem Punkte einer Orthogonalcurve aus erscheinen. In diesen Sätzen liegt eine grosse Uebereinstimmung mit bekannten Eigenschaften des Kreises. Auf der Kugel ergeben sich ähnliche Sätze, in denen die Winkel, unter denen Punktpaare erscheinen, durch die Inhalte gewisser sphärischer Dreiecke vertreten sind.
In hohem Grade einfch behandelt der Verfasser in einer anderen Note die Poncelet’schen Polygone, und zwar sehr verallgemeinert. Sind nämlich \(\alpha,\beta,\gamma\) die homogenen Coordinaten eines Punktes, so ist \[ \alpha m^2+\beta m+\gamma=0 \] die Gleichung einer Geraden, welche einen Kegelschnitt \(K\) einhüllt, wenn \(m\) variirt. Sind \(\alpha' \beta' \gamma'\) die Coordinaten eines gegebenen Punktes, so werden durch die Gleichung \[ \alpha'm^2+\beta'm+\gamma'=0 \] zwei Werthe von \(m\) bestimmt, sie seien \(\varrho\) und \(\varrho_1\), und es ist \[ \alpha'=\frac{-\beta'}{\varrho+\varrho_1}=\frac{\gamma'}{\varrho\varrho_1}. \] Man kann nun \(\varrho\) und \(\varrho_1\) als Coordinaten des Punktes \(\alpha' \beta' \gamma'\) ansehen. In dem so erhaltenen Coordinatensystem ist die Gleichung des Kegelschnittes \(K(\varrho-\varrho_1)^2=0\), und ein Kegelschnitt, welcher denselben doppelt berührt, erhält die Gleichung \[ A\varrho\varrho_1+B\varrho+C\varrho_1+D=0. \] Dieser Kegelschnitt geht für \(B=C\) in eine Gerade über. Eine algebraische Gleichung zwischen \(\varrho\) und \(\varrho_1\), welche in Bezug auf \(\varrho\) vom Grade \(m\), in Bezug auf \(\varrho_1\) vom Grade \(m_1\) ist, stellt im Allgemeinen eine Curve vom Grade \(m+m_1\) dar. Nur eine symmetrische Gleichung, die in Bezug auf jede Variabele vom Grade \(m\) ist, stellt eine Curve \(m^{\text{ten}}\) Grades dar, und umgekehrt kann jede Curve \(m^{\text{ten}}\) Grades durch eine solche Gleichung dargestellt werden. Eine Curve \(n^{\text{ten}}\) Grades, welche durch die \(n^2\) Durchschnittspunkte der Geraden \(A_1A_2\cdots A_n\) und \(B_1\cdots B_n\) geht, hat die Gleichung \[ A_1\cdot A_2\cdots A_n=k\cdot B_1\cdot B_2\cdots B_n. \] Sind die sämmtlichen Geraden Tangenten des Kegelschnitts \(K\), so kann man setzen \[ \begin{aligned} A_i &=\alpha(a_i-\varrho)(a_i-\varrho_1)\\ B_i &=\alpha(b_i-\varrho)(b_i-\varrho_1);\end{aligned} \] und wenn man nun setzt: \[ \varphi(\varrho)=(\varrho-a_1)(\varrho-a_2)\cdots(\varrho-a_n) \] und \[ \psi(\varrho)=\sqrt {k}(\varrho-b_1)(\varrho-b_2)\cdots (\varrho-b_n), \] so kann man die Gleichung der Curve bringen in die Form \[ \frac{\varphi(\varrho)}{\psi(\varrho)}= \frac{\psi(\varrho_1)}{\varphi(\varrho_1)}; \] auf welche man nun genau dieselben Schlüsse anwenden kann, wie oben gezeigt ist; daraus folgt der Satz: Wenn eine Curve \(n^{\text{ten}}\) Grades durch die \(n^2\) Schnittpunkte von zwei Systemen von je \(n\) Tangenten desselben Kegelschnittes geht, so enthält sie unendlich viele Systeme von \(n^2\) Durschnittspunkten je zweier Systeme von je 2 Tangenten dieses Kegelschnittes.
Auf ähnliche Weise wird dann ein analoger Satz gewonnen, bei welchem statt der \(n^2\) Punkte des vorigen Satzes die sämmtlichen Durchschnittspunkte von \((n+1)\) Tangenten des Kegelschnitts \(K\) auftreten, und indem man dann die Curve \(n^{\text{ten}}\) Grades in passender Weise so bestimmt, dass sie sich in Curven niederen Grades auflöst, erhält man Sätze, welche die über die Ponceletschen Polygone direct in sich enthalten. Der Verfasser zeigt alsdann noch, wie die von ihm benutzten Coordinaten geeignet sind, diese Sätze mit den Additionstheoremen für hyperelliptische Integrale in Zusammenhang zu bringen, wie dies für speciellere Theorem von Jacobi und Clebsch geschehen ist, und schliesst daran noch einige interessantere Anwendungen dieses Coordinatensystemes.
Dies sind nach dem Urtheile des Referenten die wichtigsten Punkte der durch ihre Methoden anregenden und durch viele Resultate interessanten Arbeit. Man wird in ihr noch viele hier nicht erwähnte Details über die Inversion, über Krümmungslinien, über elliptische und hyperelliptische Integrale u.a. finden. Ihre vollständige Aufzählung und Besprechung dürfte dem Zweck dieses Referates, das einen Gesammtüberblick geben soll, entgegen sein und den Umfang desselben zu weit ausdehnen.

MSC:
51N20 Euclidean analytic geometry
53A04 Curves in Euclidean and related spaces
53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces
Keywords:
curve; surface
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