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Generalized intersection multiplicities of modules. (English) Zbl 0531.13008
Es sei R ein lokaler noetherscher Ring. R hat die ”Verschwindungseigenschaft”, wenn gilt:
(V) Für beliebige endlich erzeugte R-Moduln M, N mit \(pd_ RM<\infty\), \(\ell(M\otimes_ RN)<\infty\) und \(\dim M+\dim N<\dim R\) verschwindet die Euler-Poincaré-Charakteristik \(\chi(M,N)= \sum(-1)^ i\ell(Tor^ R_ i(M,N)).\)
(V) ist bei regulärem R Teil einer Vermutung von J.-P. Serre [”Algèbre locale. Multiplicités” (1958; Zbl 0091.037; vgl. auch 2. und 3. Auflage als Lect. Notes Math. 11 (1965; Zbl 0142.286 und 1975; Zbl 0296.13018), Kap. V]. Serre beweist seine Vermutung für den Fall, daß R gleichcharakteristisch oder unverzweigt ist (a.a.O.). Im allgemeinen Fall wurde sie bei dim \(R\leq 4\) von M. Hochster bestätigt [in Conf. commut. Algebra, Lawrence 1972, Lect. Notes Math. 311, 120-152 (1973; Zbl 0254.13030)]. - In der vorliegenden Arbeit wird (V) für reguläres R einer Dimension \(\leq 5\) nachgewiesen. Dies geschieht im wesentlichen mit den zwei folgenden Sätzen:
1. Bei dim \(R\leq 2\) ist (V) stets richtig. - Wir merken an, daß es nach Dutta, Hochster und McLaughlin ”gutartige” Ringe R der Dimension 3 gibt, für die (V) nicht erfüllt ist.
2. Ist R ein Gorensteinring, so ist (V) äquivalent zu:
Für jeden perfekten R-Modul M und jeden Cohen-Macaulay-Modul N mit \(\dim M+\dim N=\dim R0\) gilt \(\ell(M\otimes_ RN)=\ell(M\oplus_ RExt_ R^{\dim M}(N,R)).\)
Am Schluß der Arbeit wird das Serresche Resultat von Modul-Paaren auf gewisse Paare von endlichen freien Komplexen verallgemeinert.
Wir notieren ein paar Auffälligkeiten: In den Beweisen zu 1.1 und 3.1 sollte man in den Formeln (12) bzw. (5) M mit Q vertauschen. Auf S. 661, 7. Zeile von unten, heißt es irreführend Theorem statt Lemma. Schließlich läßt sich unseres Erachtens eine Version von 3.1 formulieren, aus der sich 1.1 und 1.3 unmittelbar ergeben.
Reviewer: U.Vetter

MSC:
13D03 (Co)homology of commutative rings and algebras (e.g., Hochschild, André-Quillen, cyclic, dihedral, etc.)
13E05 Commutative Noetherian rings and modules
13H05 Regular local rings
13D25 Complexes (MSC2000)
13H10 Special types (Cohen-Macaulay, Gorenstein, Buchsbaum, etc.)
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References:
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