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A survey of foliations and operator algebras. (English) Zbl 0531.57023
Operator algebras and applications, Proc. Symp. Pure Math. 38, Part 1, Kingston/Ont. 1980, 521-628 (1982).
[For the entire collection see Zbl 0488.00012.]
Cet article constitue la première exposition détaillée sur les \(C^*\) algèbres associées aux feuilletages et leur K-théorie, qui sont une partie importante de la ”géométrie différentielle non commutative” que A. Connes a développée ultérieurement. Les trois premiers chapitres sont une introduction relativement élémentaire au sujet, via les feuilletages à mesure transverse, qui sont utilisés au chapitre 4 pour une première monture du théorème de l’indice. Le chapitre 5 est fondamental: l’auteur y construit la \(C^*\) algèbre d’un feuilletage comme complétion de l’algèbre des fonctions différentiables à support compact sur le groupoïde d’holonomie. Le chapitre 6 traite le cas, plus délicat, où le groupoïde d’holonomie est non séparé, avec l’exemple des feuilletages de Reeb sur \({\mathbb{T}}^ 2\). La suite de l’article est consacrée essentiellement à la K-théorie, avec des exemples géométriques d’éléments contenus dans la K-théorie de la \(C^*\) algèbre d’un feuilletage (chap. 8) et la fonctorialité (chap. 10): l’auteur construit une application de transfert F! en utilisant la K-théorie bivariante de Kasparov. L’auteur définit un groupe de K-théorie géométrique (chap. 9) qui est à peu de choses près la K-théorie homologique usuelle de l’espace classifiant du groupoïde d’holonomie du feuilletage. Le problème de l’isomorphisme entre la K-théorie géométrique et la K-théorie analytique (conjecture dite ”de Baum- Connes”, chap. 12) est résolu dans certains cas particuliers.
Reviewer: C.Roger

MSC:
57R30 Foliations in differential topology; geometric theory
55N15 Topological \(K\)-theory
46L55 Noncommutative dynamical systems
46L05 General theory of \(C^*\)-algebras
58J20 Index theory and related fixed-point theorems on manifolds
46L51 Noncommutative measure and integration
46L53 Noncommutative probability and statistics
46L54 Free probability and free operator algebras
16E20 Grothendieck groups, \(K\)-theory, etc.
46M20 Methods of algebraic topology in functional analysis (cohomology, sheaf and bundle theory, etc.)