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On the Kellogg method and its variants for finding of eigenvalues and eigenfunctions of linear self-adjoint operators. (English) Zbl 0532.65042
Dans cet article l’aut. considère l’espace de Hilbert X doué du produit scalaire habituel; soit \(A:X\to X\) un opérateur linéaire semi-défini positif sur X et auto-adjoint. Trois méthodes sont proposées en vue de la détermination des valeurs et vecteurs propres de l’opérateur A par approximations successives:
1) la méthode de Kellogg \(\alpha_{n+1}=\| Au_ n\|\), \(u_{n+1}=\alpha^{-1}_{n+1}Au_ n\), \((n=0,1,2,...)\),
2) la méthode de Birger modifiée \(\mu_{n+1}=(Av_ n,v_ n)\| v_ n\|^{-2}\), \(v_{n+1}=\mu^{-1}_{n+1}Av_ n,\)
3) la méthode de Birger originale \(q_{n+1}=(Ay_ n,y_ n)\| Ay_ n\|^{-2}\), \(y_{n+1}=q_{n+1}Ay_ n.\)
Des conditions sont imposées aux approximations initiales \(u_ 0\), \(v_ 0\) et \(y_ o\) de X. L’aut. commence par discuter la méthode de Birger et en donne une ample bibliographie. Le but du présent article consiste à montrer que les méthodes indiquées donnent lieu à des suites convergentes, même si l’approximation de départ possède uniquement la propriété d’être différente de zéro. Deux théorèmes se rapportent à des suites de scalaires et à des suites de vecteurs. L’aut. démontre que les premières sont monotones et convergent vers des valeurs propres. Les suites de vecteurs sont également convergentes. Par ailleurs l’aut. évalue la distance de deux valeurs propres appartenant à des opérateurs linéaires auto- adjoints distincts, au cas où la méthode de Kellogg est appliquée. Le dernier théorème consiste dans l’équivalence de trois propositions, dont l’une concerne la résolution spectrale de l’identité par rapport à A; les deux autres ont trait à la limite d’expressions contenant \(A^ n\).

MSC:
65J10 Numerical solutions to equations with linear operators
47A10 Spectrum, resolvent
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